1、立方倍積問題
立方倍積就是利用尺規作圖作壹個立方體，使其體積等於已知立方體的二倍，這個問題也叫倍立方問題，也稱之為德裏安問題、Delos問題。
若已知立方體的棱長為1， 則立方倍積問題就可以轉化為方程x?-2=0解的尺規作圖問題。根據尺規作圖準則，該方程之解無法作出。
因此，立方倍積問題和三等分角問題、化圓為方問題壹起，成為古希臘三大幾何難題。立方倍積問題不能用尺規作圖方法解決的嚴格證明是法國數學家萬采爾(P.-L. Wantzel,1814-1848)於1837年給出的。
2、三等分任意角問題
三等分角是古希臘三大幾何問題之壹。三等分角是古希臘幾何尺規作圖當中的名題，和化圓為方、倍立方問題被並列為古代數學的三大難題之壹，而如今數學上已證實了這個問題無解。該問題的完整敘述為：在只用圓規及壹把沒有刻度的直尺將壹個給定角三等分。
在尺規作圖（尺規作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規作圖）的前提下，此題無解。若將條件放寬，例如允許使用有刻度的直尺，或者可以配合其他曲線使用，可以將壹給定角分為三等分。
3、化圓為方
化圓為方是古希臘尺規作圖問題之壹，即：求壹正方形，其面積等於壹給定圓的面積。由π為超越數可知，該問題僅用直尺和圓規是無法完成的。但若放寬限制，這壹問題可以通過特殊的曲線來完成。如西皮阿斯的割圓曲線，阿基米德的螺線等。
4、哥德巴赫猜想
哥德巴赫1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任壹大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。但是哥德巴赫自己無法證明它，於是就寫信請教赫赫有名的大數學家歐拉幫忙證明，但是壹直到死，歐拉也無法證明。
因現今數學界已經不使用“1也是素數”這個約定，原初猜想的現代陳述為：
任壹大於5的整數都可寫成三個質數之和。(n>5：當n為偶數，n=2+(n-2)，n-2也是偶數，可以分解為兩個質數的和；當n為奇數，n=3+(n-3)，n-3也是偶數，可以分解為兩個質數的和)
歐拉在回信中也提出另壹等價版本，即任壹大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。
今日常見的猜想陳述為歐拉的版本。把命題"任壹充分大的偶數都可以表示成為壹個素因子個數不超過a個的數與另壹個素因子不超過b個的數之和"記作"a+b"。
1966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任壹充分大的偶數都可以表示成二個素數的和，或是壹個素數和壹個半素數的和"。
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