1.z變換定義
z變換是研究數字信號各種運動規律的有效方法，多用於時間域的地震和聲波等信號的數字處理。我們先來看“時間序列”的表示方法，對於“時間序列”通用的方法是按等間隔時間點的信號幅值或脈沖表示，例如圖8－5，其“時間序列”可表示為
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圖8－5 時間序列圖形
以時間函數b（n）在各時間點n的值作為變量z的n乘方項的系數，構成壹個多項式B（z），即
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這裏的B（z）就稱為b（n）的z變換。其中稱z為時間函數b（n）的“單位延遲算子”，簡稱延遲算子。利用z變換就可以反映時間函數的運動特性。
（1）z變換可以表示不同時延的相同的波形
例如：zB（z）＝z＋2z2－z4－z5表示上述的波延遲壹個單位，z2B（z）＝z2＋2z3－z5－z6表示上述的波延遲兩個單位，而znB（z）＝zn＋2zn＋1－zn＋3－zn＋4則表示波延遲了n個單位（圖8－6）。
圖8－6 z變換不同延遲示意圖
（2）z變換可用於表示不同時延組合的復雜波
例如：如果B（z）是第壹次爆炸的聲壓函數的z變換，延遲10個單位時間後又有壹次爆聚，爆聚與第壹次爆炸極性相反，強度是前者的壹半，那麽組合波（圖8－7）的z變換為
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圖8－7 組合波形圖
把上述z的多項式推廣到更為壹般的情況，對於壹個給定的離散信號序列x（n），以此序列為系數構造z的無窮級數稱為序列x（n）的z變換，記作X（z），即
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考慮式（8－79）的收斂性，式（8－79）可改寫為兩個級數和形式：
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數學上容易證明z變換的收斂域為環域：
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其中，r為式（8－80）右端第壹項級數絕對收斂的｜z｜中最小者，R為式（8－80）右端第二項級數絕對收斂的｜z｜中最大者。
在z變換式（8－79）中，如果令z＝e－iω，則
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可見，z變換與傅裏葉變換（頻譜）是壹個概念，二者之間只是壹種符號的代換。因此，z變換具有與傅裏葉變換相同的性質，如線性、交換性等，同樣也有褶積定理，即兩個信號褶積的z變換等於信號z變換的乘積。
2.z變換的計算
（1）根據z變換定義計算
［例1］時間序列x（t），取如下各值｛x（－2），x（－1），x（0），x（1），x（2），x（3）｝，所得結果為｛8，3，－2，0，4，－6｝，求其z變換。
解：其z變換為
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［例2］求 的z變換。
解：其z變換為 其收斂域2z<1，即
［例3］求序列 的z變換。
解： 其收斂域
［例4］求序列 的z變換。
解：求得 其收斂域
（2）根據褶積定理計算
設時間序列a（k），b（k）的z變換分別為A（z）和B（z），即
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y（k）為這兩個時間序列a（k），b（k）的褶積，即
y（k）＝a（k）*b（k）
則由z變換的褶積定理，知
Y（z）＝A（z）·B（z）
即兩序列褶積的z變換，等於兩個序列的z變換的乘積。
［例5］已知a（k）＝｛a（0），a（1），a（2），a（3），a（4）｝＝｛1，1，1，1，1｝，且b（k）＝a（k），求
褶積值y（k）＝a（k）*b（k）。
解：根據z變換褶積定理
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由此可得
y（k）＝｛1，2，3，4，5，4，3，2，1｝（k＝0，1，…，8）
可以看出，用z變換計算a（k）*b（k）比直接算法簡便得多。
這種算法也可以推廣到多項褶積，即如果存在若幹個序列a（j），b（j），…，k（j），那麽他們的褶積y（j）＝a（j）*b（j）*…*k（j）的z變換為Y（z）＝A（z）·B（z）…K（z）。
3.逆z變換
上面分析了從已知序列x（n）求出z變換的正問題。下面分析由X（z）求其對應序列x（n）的逆問題，即逆z變換。這裏列舉了求逆z變換的三種方法，並用例子進行說明。
（1）直接展開法
［例1］已知 ｜z｜<a，求x（n）。
解：因為｜z｜<a，故 可構造無窮級數，即
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［例2］已知 ｜z｜>a，求x（n）。
解：因為｜z｜>a，故 所以
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故x（n）＝｛－a，－a2，…｝（n＝－1，－2，…）
（2）部分分式法
［例3］已知 求x（n）。
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［例4］已知 1<｜z｜<4，求x（n）。
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根據前面例子有
X1（z）＝－z－1－z－2－…，｜z｜>1
X2（z）＝1＋4－1z＋4－2z2＋4－3z3＋…，｜z｜<4
故有