“悖論”也可叫“逆論”，或“反論”，這個詞的意義比較豐富，它包括壹切與人的直覺和日常經驗相矛盾的數學結論，那些結論會使我們驚異無比。它包括邏輯學、概率論、數論、幾何學、統計學和時間等六個方面的數學悖論.悖論有三種主要形式。
1．壹種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）。
2．壹種論斷看起來好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）。
3．壹系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導致邏輯上自相矛盾。
悖論有點像魔術中的變戲法，它使人們在看完之後，幾乎沒有—個不驚訝得馬上就想知道：“這套戲法是怎麽搞成的？”當把技巧告訴他時，他就會不知不覺地被引進深奧而有趣的數學世界之中。正因為如此，悖論就成了壹種十分有價值的教學手段。
悖論是屬於領域廣闊、定義嚴格的數學分支的壹個組成部分，這壹分支以“趣味數學”知名於世。這就是說它帶有強烈的遊戲色彩。然而，切莫以為大數學家都看不起“趣味數學”問題。歐拉就是通過對bridge-crossing之謎的分析打下了拓撲學的基礎。
萊布尼茨也寫到過他在獨自玩插棍遊戲（壹種在小方格中插小木條的遊戲）時分析問題的樂趣。希爾伯特證明了切割幾何圖形中的許多重要定理。馮·紐曼奠基了博弈論。最受大眾歡迎的計算機遊戲—生命是英國著名數學家康威發明的。愛因斯坦也收藏了整整壹書架關於數學遊戲和數學謎的書。
擴展資料：
典型悖論：
1，理發師悖論
在薩維爾村，理發師掛出壹塊招牌：“我只給村裏所有那些不給自己理發的人理發。”有人問他：“妳給不給自己理發？”理發師頓時無言以對。
這是壹個矛盾推理：如果理發師不給自己理發，他就屬於招牌上的那壹類人。有言在先，他應該給自己理發。 反之，如果這個理發師給他自己理發，根據招牌所言，他只給村中不給自己理發的人理發，他不能給自己理發。
因此，無論這個理發師怎麽回答，都不能排除內在的矛盾。這個悖論是羅素在壹九〇二年提出來的，所以又叫“羅素悖論”。這是集合論悖論的通俗的、有故事情節的表述。顯然，這裏也存在著壹個不可排除的“自指”問題。
2，集合論悖論
“R是所有不包含自身的集合的集合。”
人們同樣會問：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定義，R應屬於R。如果R包含自身的話，R又不屬於R。
繼羅素的集合論悖論發現了數學基礎有問題以後，1931年歌德爾（Kurt Godel ，1906－1978，捷克人）提出了壹個“不完全定理”，打破了十九世紀末數學家“所有的數學體系都可以由邏輯推導出來”的理想。
這個定理指出：任何公設系統都不是完備的，其中必然存在著既不能被肯定也不能被否定的命題。例如，歐氏幾何中的“平行線公理”，對它的否定產生了幾種非歐幾何；羅素悖論也表明集合論公理體系不完備。
3，書目悖論
壹個圖書館編纂了壹本書名詞典，它列出且只列出這個圖書館裏所有不列出自己書名的書。那麽它列不列出自己的書名？
這個悖論與理發師悖論基本壹致。
4，蘇格拉底悖論
有“西方孔子”之稱的雅典人蘇格拉底（Socrates，公元前470－前399）是古希臘的大哲學家，曾經與普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名詭辯家相對。
他建立 “定義”以對付詭辯派混淆的修辭，從而勘落了百家的雜說。但是他的道德觀念不為希臘人所容，竟在七十歲的時候被當作詭辯雜說的代表。在普洛特哥拉斯被驅逐、書被焚十二年以後，蘇格拉底也被處以死刑，但是他的學說得到了柏拉圖和亞裏士多德的繼承。
蘇格拉底有壹句名言：“我只知道壹件事，那就是什麽都不知道。”
這是壹個悖論，我們無法從這句話中推論出蘇格拉底是否對這件事本身也不知道。古代中國也有壹個類似的例子：
5，“言盡悖”
這是《莊子·齊物論》裏莊子說的。後期墨家反駁道：如果“言盡悖”，莊子的這個言難道就不悖嗎？我們常說：
6，“世界上沒有絕對的真理”
我們不知道這句話本身是不是“絕對的真理”。
7，柏拉圖-蘇格拉底悖論
柏拉圖（Platon，Πλ?των， 約前427年－前347年），古希臘偉大的哲學家，也是全部西方哲學乃至整個西方文化最偉大的哲學家和思想家之壹，他和老師蘇格拉底，學生亞裏士多德並稱為古希臘三大哲學家。
柏拉圖說：“蘇格拉底的下句話是錯誤的”。
蘇格拉底說：“柏拉圖說得對。”
不論妳假定哪個句子是真的，另壹個句子都會與之矛盾。兩個句子都不是自我詮釋，但作為壹個整體，同樣構成了說謊者悖論。