看borel集的定義，壹個拓撲空間的開集全體所生成的sigma代數就是borel集。
拓撲結構是用來刻畫映射的連續性的，而sigma代數式測度結構的基礎。borel集就這樣建立拓撲結構和測度結構的聯系，可以看出這個定義是十分自然的。
自然和諧的定義往往來帶無法估量的價值，可能也是數學美得體現。馬上我們就有了壹個我們需要的重要的結論：連續函數都是可測的。同時令所有連續函數可測的最小的sigma代數就是borel集。從中可以看出borel集不大不小，剛剛好，再多壹個元素少壹個元素都不行。
可能還有個問題，為什麽要提出sigma代數這種結構。我覺得本質上是為了在做測度相關的操作時，涉及的所有運算都是有定義的。這些運算涉及集合的操作就是交、並、差，還有為了極限運算成立還需要可列交，sigma代數也就是滿足這樣性質的集合族。
總結如下：
所謂測度，就是壹個具有可列可加性的非負集函數。當然這不是測度的唯壹定義，外測度也是壹種方法，不過殊途同歸。
既然討論的是函數，而且它的值域是0到正無窮，那麽需要關心的就是它的定義域。如果承認選擇公理(不可數的)，那麽每個(非平凡的)正測度都存在不可測集，所以它的定義域必然不是全空間的所有子集。