最大公因數（Greatest Common Divisor，簡稱GCD）指的是壹組數中最大的可以同時整除這組數的正整數。也可以稱為最大公約數。
比如，對於整數 12 和 18，它們的最大公因數就是 6，因為 6 是同時能整除 12 和 18 的最大正整數。
最大公因數的求法
最大公因數有很多種求法，常見的方法包括質因數分解法、歐幾裏得算法等。無論采用何種方法，最終的結果都是找到這組數中的最大公約數。最大公因數在數學和計算機科學中經常被用於簡化分數、約簡比例、求解同余方程等問題。
最大公因數（GCD）有幾種常見的求法：
1.質因數分解法
將兩個或多個數分別質因數分解，然後找出它們的所有公***質因數，並將這些公***質因數相乘，得到的積就是最大公因數。
2. 輾轉相除法（歐幾裏得算法）
取兩個數中較大的數除以較小的數，得到商和余數。然後將較小的數除以余數，再得到商和新的余數。重復這個過程直到余數為0，此時的除數就是最大公因數。
3. 更相減損術
取兩個數中較大的數減去較小的數，得到差值。然後將較小的數和差值再次進行相減，得到新的差值。重復這個過程直到差值為0或者兩個數相等，此時的數就是最大公因數。
4. 輾轉相減與移位結合法（更高效的歐幾裏得算法）
在輾轉相減法的基礎上，引入移位操作來加速計算過程。
最大公因數的應用
1.約簡分數
當需要對壹個分數進行約簡時，可以使用最大公因數來將分子和分母進行約去。將分子和分母除以它們的最大公因數，可以得到約簡後的分數，使其保持最簡形式。
2. 求解模運算問題
在模運算中，需要求解同余方程。最大公因數在確定兩個數是否互質以及求解模線性方程等問題中起到關鍵作用。
3. 分解多項式
在代數學中，最大公因數用於分解多項式。通過求取多項式的最大公因數，可以將多項式拆解為較小的因式乘積，從而簡化計算和分析過程。
4. 密碼學中的RSA算法
RSA算法是壹種常用的公鑰加密和數字簽名算法，其中的關鍵步驟之壹就是求解兩個大素數的最大公因數，以確保安全性和可靠性。
5. 算法設計和優化
最大公因數算法在算法設計和優化中也發揮重要作用。例如，壹些排序算法中使用最大公因數來實現循環移位操作，從而提高執行效率。
求最大公因數的例題
問題：求解整數 24 和 36 的最大公因數。
解答：可以使用輾轉相除法來求解。首先，用 36 除以 24，得到商 1 和余數 12。然後，再用 24 除以 12，得到商 2 和余數 0。此時，余數為 0，所以最大公因數就是上壹步的除數，即 12。因此，24 和 36 的最大公因數為 12。
在實際計算中，也可以使用質因數分解法，將 24 和 36 分別分解質因數：
24 = 2^3 * 3
36 = 2^2 * 3^2
可以看出，它們的公***質因數有 2 的平方和 3 的壹次方。將這些公***質因數相乘，得到 2^2 * 3 = 12，即最大公因數為 12。
無論使用哪種方法，最終都可以得到相同的結果，即 24 和 36 的最大公因數為 12。