術語函數,映射,對應,變換通常都是同壹個意思.
歷史
函數這個數學名詞是萊布尼茲在1694年開始使用的,以描述曲線的壹個相關量,如曲線的斜率或者曲線上的某壹點.萊布尼茲所指的函數現在被稱作可導函數,數學家之外的普通人壹般接觸到的函數即屬此類.對於可導函數可以討論它的極限和導數.此兩者描述了函數輸出值的變化同輸入值變化的關系,是微積分學的基礎.
1718年,約翰·貝努裏（en:Johann Bernoulli）把函數定義為“壹個變量的函數是指由這個變量和常量以任何壹種方式組成的壹種量.”1748年,約翰·貝努裏的學生歐拉（Leonhard Euler）在《無窮分析引論》壹書中說：“壹個變量的函數是由該變量和壹些數或[常量]]以任何壹種方式構成的解析表達式”.例如f(x) = sin(x) + x3.1775年,歐拉在《微分學原理》壹書中又提出了函數的壹個定義：“如果某些量以如下方式依賴於另壹些量,即當後者變化時,前者本身也發生變化,則稱前壹些量是後壹些量的函數.”
19世紀的數學家開始對數學的各個分支作規範整理.維爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出將微積分學建立在算術,而不是幾何的基礎上,因而更趨向於歐拉的定義.
通過擴展函數的定義,數學家能夠對壹些“奇怪”的數學對象進行研究,例如不可導的連續函數.這些函數曾經被認為只具有理論價值,遲至20世紀初時它們仍被視作“怪物”.稍後,人們發現這些函數在對如布朗運動之類的物理現象進行建模時有重要的作用.
到19世紀末,數學家開始嘗試利用集合論來規範數學.他們試圖將每壹類數學對象定義為壹個集合.狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）給出了現代正式的函數定義.狄利克雷的定義將函數視作數學關系的特例.然而對於實際應用的情況,現代定義和歐拉定義的區別可以忽略不計.