Transformée de Fourier有多種中文譯名，常見的有“傅裏葉變換”、“傅立葉變換”、“付立葉變換”、“富裏葉變換”、“富裏哀變換”等等。為方便起見，本文統壹寫作“傅裏葉變換”。
應用
傅裏葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號處理中，傅裏葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）。
概要介紹
* 傅裏葉變換能將滿足壹定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或余弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅裏葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅裏葉變換和離散傅裏葉變換。最初傅裏葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的（參見：林家翹、西格爾著《自然科學中確定性問題的應用數學》，科學出版社，北京。原版書名為 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。
* 傅裏葉變換屬於諧波分析。
* 傅裏葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;
* 正弦基函數是微分運算的本征函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取;
* 卷積定理指出:傅裏葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的壹種簡單手段;
* 離散形式的傅裏葉變換可以利用數字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅裏葉變換算法(FFT)).
基本性質
線性性質
兩函數之和的傅裏葉變換等於各自變換之和。數學描述是：若函數f \left( x\right )和g \left(x \right)的傅裏葉變換\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和 β 為任意常系數，則\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅裏葉變換算符\mathcal可經歸壹化成為麽正算符；
頻移性質
若函數f \left( x\right )存在傅裏葉變換，則對任意實數 ω0，函數f(x) e^{i \omega_ x}也存在傅裏葉變換，且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 ) 。式中花體\mathcal是傅裏葉變換的作用算子，平體F表示變換的結果（復函數），e 為自然對數的底，i 為虛數單位\sqrt；
微分關系
若函數f \left( x\right )當|x|\rightarrow\infty時的極限為0，而其導函數f'(x)的傅裏葉變換存在，則有\mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)] ，即導函數的傅裏葉變換等於原函數的傅裏葉變換乘以因子 ?6?1 iω 。更壹般地，若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0，且\mathcal[f^{(k)}(x)]存在，則\mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f] ，即 k 階導數的傅裏葉變換等於原函數的傅裏葉變換乘以因子( ?6?1 iω)k。
卷積特性
若函數f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上絕對可積，則卷積函數f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅裏葉變換存在，且\mathcal[f*g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] 。卷積性質的逆形式為\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)] ，即兩個函數乘積的傅裏葉逆變換等於它們各自的傅裏葉逆變換的卷積。
Parseval定理
若函數f \left( x\right )可積且平方可積，則\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^d\omega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅裏葉變換。
傅裏葉變換的不同變種
連續傅裏葉變換
主條目：連續傅立葉變換
壹般情況下,若“傅立葉變換”壹詞的前面未加任何限定語，則指的是“連續傅裏葉變換”。“連續傅裏葉變換”將平方可積的函數f(t) 表示成復指數函數的積分或級數形式。
f(t) = \mathcal^[F(\omega)] = \frac{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.
上式其實表示的是連續傅裏葉變換的逆變換，即將時間域的函數f(t)表示為頻率域的函數F(ω)的積分。反過來,其正變換恰好是將頻率域的函數F(ω)表示為時間域的函數f(t)的積分形式。壹般可稱函數f(t)為原函數,而稱函數F(ω)為傅裏葉變換的像函數,原函數和像函數構成壹個傅立葉變換對(transform pair)。
壹種對連續傅裏葉變換的推廣稱為分數傅裏葉變換（Fractional Fourier Transform）。
當f(t)為奇函數(或偶函數)時,其余弦(或正弦)分量將消亡,而可以稱這時的變換為余弦轉換(cosine transform) 或 正弦轉換(sine transform).
另壹個值得註意的性質是,當f(t) 為純實函數時,F(?6?1ω) = F(ω)*成立.