(2)[imaginary part]：復數中a+bi，b不等於零時bi叫虛數。
(3)[imaginary number]：漢語中不表明具體數量的詞。 [編輯本段]數學中的虛數 在數學裏，將平方是負數的數定義為純虛數。所有的虛數都是復數。定義為i^2=-1。但是虛數是沒有算術根這壹說的，所以√(-1)=±i。對於z=a+bi,也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數，i為虛數單位，A為虛數的幅角，即可表示為z=cosA+isinA。實數和虛數組成的壹對數在復數範圍內看成壹個數，起名為復數。虛數沒有正負可言。不是實數的復數，即使是純虛數，也不能比較大小。
這種數有壹個專門的符號“i”(imaginary)，它稱為虛數單位。不過在電子等行業中，因為i通常用來表示電流，所以虛數單位用j來表示。 [編輯本段]虛數的實際意義 我們可以在平面直角坐標系中畫出虛數系統。如果利用橫軸表示全體實數，那麽縱軸即可表示虛數。整個平面上每壹點對應著壹個復數，稱為復平面。橫軸和縱軸也改稱為實軸和虛軸。 [編輯本段]起源 “虛數”這個名詞是17世紀著名數學家、哲學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。
人們發現即使使用全部的有理數和無理數，也不能長度解決代數方程的求解問題。像x 2+1=0這樣最簡單的二次方程，在實數範圍內沒有解。12世紀的印度大數學家婆什伽羅都認為這個方程是沒有解的。他認為正數的平方是正數，負數的平方也是正數，因此，壹個正數的平方根是兩重的；壹個正數和壹個負數，負數沒有平方根，因此負數不是平方數。這等於不承認方程的負根的存在。
到了16世紀，意大利數學家卡當在其著作《大法》（《大衍術》）中，把記為1545R15-15m這是最早的虛數記號。但他認為這僅僅是個形式表示而已。1637年法國數學家笛卡爾，在其《幾何學》中第壹次給出“虛數”的名稱，並和“實數”相對應。
1545年意大利米蘭的卡丹發表了文藝復興時期最重要的壹部代數學著作，提出了壹種求解壹般三次方程的求解公式：
形如：x^3+ax+b=0的三次方程解如下：x={(-b/2)+[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3)+{(-b/2)-[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3)
當卡丹試圖用該公式解方程x^3-15x-4=0時他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3)
在那個年代負數本身就是令人懷疑的，負數的平方根就更加荒謬了。因此卡丹的公式給出x=(2+j)+(2-j)=4。容易證明x=4確實是原方程的根，但卡丹不曾熱心解釋(-121)^(1/2)的出現。認為是“不可捉摸而無用的東西”。
直到19世紀初，高斯系統地使用了這個符號，並主張用數偶（a、b）來表示a+bi，稱為復數，虛數才逐步得以通行。
由於虛數闖進數的領域時，人們對它的實際用處壹無所知，在實際生活中似乎沒有用復數來表達的量，因此在很長壹段時間裏，人們對它產生過種種懷疑和誤解。笛卡爾稱“虛數”的本意就是指它是虛假的；萊布尼茲則認為：“虛數是美妙而奇異的神靈隱蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩棲物。”歐拉盡管在許多地方用了虛數，但又說壹切形如
繼歐拉之後，挪威測量學家維塞爾提出把復數（a+bi）用平面上的點來表示。後來高斯又提出了復平面的概念，終於使復數有了立足之地，也為復數的應用開辟了道路。現在，復數壹般用來表示向量（有方向的量），這在水利學、地圖學、航空學中的應用十分廣泛，虛數越來越顯示出其豐富的內容。 [編輯本段]i的性質 i 的高次方會不斷作以下的循環：
i^1 = i
i^2 = - 1
i^3 = - i
i^4 = 1
i^5 = i
i^6 = - 1...
由於虛數特殊的運算規則，出現了符號i
當ω=(-1+√3i)/2或ω=(-1-√3i)/2時：
ω^2 + ω + 1 = 0
ω^3 = 1
許多實數的運算都可以推廣到i，例如指數、對數和三角函數。
壹個數的ni次方為：
x^(ni) = cos(ln(x^n)) + i sin(ln(x^n)).
壹個數的ni次方根為：
x^(1/ni) = cos(ln(x^(1/n))) - i sin(ln((x^(1/n))).
以i為底的對數為：
log_i(x) = 2 ln(x)/ i*pi.
i的余弦是壹個實數：
cos(i) = cosh(1) = (e + 1/e)/2 = (e^2 + 1) /2e = 1.54308064.
i的正弦是虛數：
sin(i) = sinh(1) * i = (e - 1/e)/ 2} * i = 1.17520119 i.
i,e,π,0和1的奇妙關系：
e^(i*π)+1=0
i^I=e^(-π÷2） [編輯本段]符號來歷 1777年瑞士數學家歐拉(Euler，或譯為歐勒)開始使用符號i表示虛數的單位。而後人將虛數和實數有機地結合起來,寫成a+bi形式 (a、b為實數，a等於0時叫純虛數，ab都不等於0時叫復數，b等於0時就是實數)。
通常，我們用符號C來表示復數集，用符號R來表示實數集。 [編輯本段]相關描述 虛數 原作：勞倫斯·馬克·萊瑟（阿姆斯特朗大西洋州立學院）
翻譯：徐國強
虛文自古向空構，艾字如今可倍乘。所問逢人驚詫甚，生活何處有真能？嗟哉小試調音放，訝矣大為掌夜燈。三極管中知用否，交流電路肯鹹恒。憑君漫問荒唐義，負值求根疑竇增。情類當初聽慣耳，事關負數見折肱。幾分繁復融學域，百計聯席悅有朋。但看幾何三角地，蓬勃艾草意同承[①]。
IMAGINARY by Lawrence Mark LesserArmstrong Atlantic State University
Imaginary numbers, multiples of iEverybody wonders, "are they used in real life?"Well, try the amplifier I'm using right now -- A.C.!You say it's absurd,this root of minus one.but the same things once were heardAbout the number negative one!Imaginary numbers are a bit complex,But in real mathematics, everything connects:Geometry, trig and call all see "i to i."
[①] see "i to i."指可見虛數符號的應用，並諧音雙關see eye to eye 為意見壹致[1]
參考資料：
《人文數學網絡期刊》22期48頁開放分類： 詞語，數學，詞匯，數詞，復數