cardinal

在數學上，基數(cardinal number)也叫勢(cardinality)，指集合論中刻畫任意集合所含元素數量多少的壹個概念。兩個能夠建立元素間壹壹對應的集合稱為互相對等集合。例如3個人的集合和3匹馬的集合可以建立壹 壹對應，是兩個對等的集合。根據對等這種關系對集合進行分類，凡是互相對等的集合就劃入同壹類。這樣，每壹個集合都被劃入了某壹類。任意壹個集合A所屬的類就稱為集合A的基數，記作(或｜A｜，或cardA)。這樣，當A 與B同屬壹個類時，A與B 就有相同的基數，即|A|=|B|。而當 A與B不同屬壹個類時，它們的基數也不同。 如果把單元素集的基數記作1，兩個元素的集合的基數記作2，等等，則任壹個有限集的基數就與通常意義下的自然數壹致 。空集的基數也記作σ 。於是有限集的基數也就是傳統概念下的“個數”。但是，對於無窮集，傳統概念沒有個數，而按基數概念，無窮集也有基數，例如，任壹可數集（也稱可列集）與自然數集N有相同的基數，即所有可數集是等基數集。不但如此，還可以證明實數集R與可數集的基數不同。所以集合的基數是個數概念的推廣。 基數可以比較大小。假設A，B的基數分別是a，β，即|A|＝a，|B|＝β，如果A與B的某個子集對等，就稱 A 的基數不大於B的基數，記作a≤β，或β≥a。如果 a≤ β，但a≠β（ 即A與B不對等 ），就稱A的基數小於B的基數，記作a＜β，或β＞a。在承認策梅羅(Zermelo)選擇公理的情況下，可以證明基數的三岐性定理——任何兩個集合的基數都可以比較大小，即不存在集合A和B，使得A不能與B的任何子集對等，B也不能與A的任何子集對等。 基數可以進行運算 。設|A|＝a ，|A|＝β，且 A∩B是空集，則規定為a 與β之和記作＝a ＋β。設|A|＝a，|B|＝β，A×B為 A與B的積集，規定為 a 與β的積，記作＝a·β。