什麽是反函數？反函數是怎麽定義的？

[編輯本段]反函數定義 壹般地，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據這個函數中x,y 的關系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若對於y在C中的任何壹個值，通過x= f(y)，x在A中都有唯壹的值和它對應，那麽，x= f(y)就表示y是自變量，x是因變量y的函數，這樣的函數x= f(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作y=f^-1(x). 反函數y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域. [編輯本段]反函數性質 （1）互為反函數的兩個函數的圖象關於直線y＝x對稱； （2）函數存在反函數的必要條件是，函數的定義域與值域是壹壹映射； （3）壹個函數與它的反函數在相應區間上單調性壹致； （4）大部分偶函數不存在反函數（唯壹有反函數的偶函數是f(x)=a,x∈{0}）。奇函數不壹定存在反函數。被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數。若壹個奇函數存在反函數，則它的反函數也是奇函數。 (5)壹切隱函數具有反函數； (6)壹段連續的函數的單調性在對應區間內具有壹致性； （7）嚴格增（減）的函數壹定有嚴格增（減）的反函數反函數存在定理。 （8）反函數是相互的 （9）定義域、值域相反對應法則互逆（三反） (10)原函數壹旦確定，反函數即確定（三定） 例：y=2x-1的反函數是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函數是y=log2 x 例題：求函數3x-2的反函數 解：y=3x-2的定義域為R，值域為R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 將x,y互換,則所求y=3x-2的反函數是 y=1/3(x+2)（x屬於R） （11）反函數的導數關系：如果X=F(X）在區間I上單調，可導，且F‘（Y）不等於0，那麽他的反函數Y=F’（X）在區間S={X|X=F(Y),Y屬於I }內也可導，且[F‘（X)]'=1\F’（Y）。 [編輯本段]反函數說明 ⑴在函數x=f’(y)中，y是自變量，x是函數，但習慣上，我們壹般用x表示自變量，用y 表示函數，為此我們常常對調函數x=f‘(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f’(x)，今後凡無特別說明，函數y=f(x)的反函數都采用這種經過改寫的形式。 ⑵反函數也是函數，因為它符合函數的定義. 從反函數的定義可知，對於任意壹個函數y=f(x)來說，不壹定有反函數，若函數y=f(x)有反函數y=f‘(x)，那麽函數y=f’(x)的反函數就是y=f(x)，這就是說，函數y=f(x)與y=f‘(x)互為反函數。 ⑶從映射的定義可知，函數y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數y=f‘(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數y=f(x)的定義域正好是它的反函數y=f’(x)的值域；函數y=f(x)的值域正好是它的反函數y=f’(x)的定義域（如下表）： 函數：y=f(x) 反函數：y=f’(x) 定義域： A C 值域： C A ⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為： 若確定函數y=f(x)的映射f是函數的定義域到值域“上”的“壹壹映射”，那麽由f的“逆”映射f^-1所確定的函數x=f’(x)就叫做函數y=f(x)的反函數. 反函數x=f‘(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域. 開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數就可以寫為f’(t)=t/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數為：f‘(x)=x/2-3. 有時是反函數需要進行分類討論，如：f(x)=X+1/X，需將X進行分類討論：在X大於0時的情況，X小於0的情況，多是要註意的。壹般分數函數的反函數的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等於b/d)--y=b-dx/cx+a [編輯本段]反函數應用 直接求原函數的值域困難時，可以通過求其反函數的定義域來確定原函數的值域，求反函數的步驟是這樣的： 1、先求出反函數的定義域，因為原函數的值域就是反函數的定義域； （我們知道函數的三要素是定義域、值域、對應法則，所以先求反函數的定義域是求反函數的第壹步） 2、反解x，也就是用y來表示x； 3、改寫，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x； 4、寫出原函數及其值域。 實例：y=2x+1（值域：任意實數） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2（x取任意實數） 特別地，形如kx+ky=b的直線方程和任意壹個反比例函數，它的反函數都是它本身。