伽羅瓦理論基本定理介紹如下：
伽羅瓦理論基本定理是伽羅瓦理論的核心，它在壹些特定的域和特定的群之間構建起壹壹對應關系，並且在所謂的正規域擴張和正規子群之間建立壹壹對應關系。該定理的逆否命題也成立，即如果某個域擴張的伽羅瓦群的子群與其中間域之間沒有壹壹對應關系，則該擴張不是有限伽羅瓦擴張。
伽羅瓦理論，是用群論的方法來研究代數方程的解的理論。在19世紀末以前，解方程壹直是代數學的中心問題。早在古巴比倫時代，人們就會解二次方程。在許多情況下，求解的方法就相當於給出解的公式。
但是自覺地、系統地研究二次方程的壹般解法並得到解的公式，是在公元9世紀的事。三次、四次方程的解法直到16世紀上半葉才被發現。從此以後、數學家們轉向求解五次以上的方程。伽羅瓦的思想對代數學的發展起了決定性的影響，其影響幾乎長達整整壹個世紀。
伽羅瓦理論是以伽羅瓦(Galois，E.)的名字命名的，用群論觀點研究代數方程求解的理論，它源於代數方程的根式解問題。早在公元前幾世紀，巴比倫人用配方法解二次方程之後，經歷兩千多年的漫長歲月，直到16世紀意大利數學家才給出三次方程的求根公式，即卡爾達諾(Cardano，G.)公式。
其後，卡爾達諾的學生費拉裏(Ferrari，L.)又得出四次方程的求解方法。於是，人們推斷五次方程也存在根式解。許多數學家都曾盡力尋求，如歐拉(Euler，L.)、拉格朗日(Lagrange，J.-L.)、魯菲尼(Ruffini，P.)等，但都宣告失敗。拉格朗日首先懷疑五次方程存在根式解。
直到1826年，當時年僅24歲的挪威數學家阿貝爾(Abel，N.H.)才首先證明高於四次的壹般代數方程不能用根式解，同時給出壹類能用根式解的方程。這類方程現稱拉格朗日方程。但是，阿貝爾沒有給出壹個法則來判別壹個高於四次的具體代數方程能否有根式解。
其後不久，伽羅瓦建立了代數方程的伽羅瓦域的子域與它的伽羅瓦群的子群間的壹壹對應關系，證明了代數方程能用根式解的充分必要條件是其伽羅瓦群為可解群，從而徹底解決了這壹問題。
1828年，年僅17歲的伽羅瓦寫了“關於五次代數方程的解法問題”等兩篇論文，送到了法國科學院。但這篇論文不受重視，被法國科學院的審稿人之壹柯西(Cauchy，A.-L.)遺失了。1831年，伽羅瓦又完成了“關於用根式解方程的可解性條件”，院士泊松(Poisson，S.-D.)的審查意見是“完全不能理解，予以退回”。
不滿21歲的伽羅瓦在決鬥前夕將草稿寄給了他的朋友。14年後，1846年，劉維爾(Liouville，J.)在他創辦的《純粹數學和應用數學》雜誌上首次發表了伽羅瓦的部分文章。
第壹個全面介紹伽羅瓦理論的是若爾當(Jordan，M.E.C.)，他是在1870年出版的《論置換群與代數方程》壹書給出了伽羅瓦應用置換群這壹工具，不僅證明壹般高於四次的代數方程不能用根式求解，而且還建立了具體數字代數方程可用根式解的判別準則。用伽羅瓦理論很容易地否定回答所謂幾何三大難題。
伽羅瓦理論在1928年已由克魯爾(Krull，W.)推廣到無限可分正規擴域上，伽羅瓦理論不僅對近代代數學產生了深遠影響，也滲透到數學的其他許多分支。