cauchy-schwarz不等式：等號在且僅在ad－bc=0即ad=bc時成立。
柯西施瓦茨不等式：ai、bi為任意實數（i=1,2...n)，則（a1^2+a2^2+.+an^2)(b1^2+b2^2+.+bn^2)>=(a1b1+a2b2+.+anbn)^2.可以構造二次函數，借助判別式來證明。
柯西－施瓦茨不等式是壹個在眾多背景下都有應用的不等式，例如線性代數，數學分析，概率論，向量代數以及其他許多領域。
cauchy-schwarz不等式用向量來證：
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)，mn=a1b1+a2b2+......+anbn(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX。
因為cosX小於等於1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)。