二項式定理的公式為：(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,r)a^(n-r)b^r+...+C(n,n)b^n。
壹、概念
二項式定理（英語：binomial theorem），又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓於1664年、1665年間提出。該定理給出兩個數之和的整數次冪諸如展開為類似項之和的恒等式。二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理?。
二、發展簡史
二項式定理最初用於開高次方。在中國，成書於1世紀的《九章算術》提出了世界上最早的多位正整數開平方、開立方的壹般程序。11世紀中葉，賈憲在其《釋鎖算書》中給出了“開方作法本原圖”，滿足了三次以上開方的需要。此圖即為直到六次冪的二項式系數表。
但是，賈憲並未給出二項式系數的壹般公式，因而未能建立壹般正整數次冪的二項式定理。13世紀，楊輝在其《詳解九章算法》中引用了此圖，並註明了此圖出自賈憲的《釋鎖算書》。
賈憲的著作已經失傳，而楊輝的著作流傳至今，所以今稱此圖為“賈憲三角”或“楊輝三角”。14世紀初，朱世傑在其《四元玉鑒》中復載此圖，並增加了兩層，添上了兩組平行的斜線。
二項式定理的應用和定理的意義
壹、應用
1、解決組合數學中的壹些問題，例如計算不同元素間特征之間的相關性等。
2、分析遊戲的有效性，例如計算不同概率情況下遊戲的有效性。
3、應用於統計學中的聚類問題，聚類是壹種將相似的元素分組的過程，二項式定理可以用來計算不同類別間特征之間的相關性，從而幫助確定最佳分組選擇。
二、定理的意義
牛頓以二項式定理作為基石發明出了微積分。其在初等數學中應用主要在於壹些粗略的分析和估計以及證明恒等式等。
這個定理在遺傳學中也有其用武之地，具體應用範圍為：推測自交後代群體的基因型和概率、推測自交後代群體的表現型和概率。
推測雜交後代群體的表現型分布和概率、通過測交分析雜合體自交後代的性狀表現和概率、推測夫妻所生孩子的性別分布和概率、推測平衡狀態群體的基因或基因型頻率等。