余弦定
理證明
平面向量證法：
∵如圖，有a+b=c
(平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小）
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
（以上粗體字符表示向量）
又∵Cos(π-θ)=-CosC
∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（註意：這裏用到了三角函數公式）
再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示壹下。
平面幾何證法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a
則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根據勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
余弦定理的作用
(1)已知三角形的三條邊長，可求出三個內角；
(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊.
例如：已知△ABC的三邊之比為：2：1，求最大的內角.
解
設三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=:2:1.
由三角形中大邊對大角可知：∠A為最大的角.由余弦定理
cos
A==-
所以∠A=120°.
再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=π3,求BC之長.
解
由余弦定理可知
BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos
A
=4+9-2×2×3×=7，
所以BC=7.
以上兩個小例子簡單說明了余弦定理的作用.
其他
從余弦定理和余弦函數的性質可以看出，如果壹個三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麽第三邊所對的角壹定是直角，如果小於第三邊的平方，那麽第三邊所對的角是銳角，如果大於第三邊的平方，那麽第三邊所對的角是鈍角。即，利用余弦定理，可以判斷三角形形狀。同時，還可以用余弦定理求三角形邊長取值範圍。