什麽是質數？就是在所有比1大的整數中，除了1和它本身以外，不再有別的約數，這種整數叫做質數，質數又叫做素數。這終規只是文字上的解釋而已。能不能有壹個代數式，規定用字母表示的那個數為規定的任何值時，所代入的代數式的值都是質數呢？
質數的分布是沒有規律的，往往讓人莫明其妙。如：101、401、601、701都是質數，但上下面的301和901卻是合數。
有人做過這樣的驗算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……於是就可以有這樣壹個公式：設壹正數為n，則n^2+n+41的值壹定是壹個質數。這個式子壹直到n=39時，都是成立的。但n=40時，其式子就不成立了，因為40^2+40+41=1681=41*41。
被稱為“17世紀最偉大的法國數學家”費爾馬，也研究過質數的性質。他發現，設Fn=2^(2^n)，則當n分別等於0、1、2、3、4時，Fn分別給出3、5、17、257、65537，都是質數，由於F5太大（F5=14292967297），他沒有再往下檢測就直接猜測：對於壹切自然數，Fn都是質數。但是，就是在F5上出了問題！費爾馬死後67年，25歲的瑞士數學家歐拉證明：F5=14292967297=641*6700417，並非質數，而是合數。
更加有趣的是，以後的Fn值，數學家再也沒有找到哪個Fn值是質數，全部都是合數。目前由於平方開得較大，因而能夠證明的也很少。現在數學家們取得Fn的最大值為：n=1495。這可是個超級天文數字，其位數多達10^10584位，當然它盡管非常之大，但也不是個質數。質數和費爾馬開了個大玩笑！
17世紀還有位法國數學家叫梅森，他曾經做過壹個猜想：2^p-1代數式，當p是質數時，2^p-1是質數。他驗算出了：當p=2、3、5、7、17、19時，所得代數式的值都是質數，後來，歐拉證明p=31時，2^p-1是質數。
還剩下p=67、127、257三個梅森數，由於太大，長期沒有人去驗證。梅森去世250年後，美國數學家科勒證明，2^67-1=193707721*761838257287，是壹個合數。這是第九個梅森數。20世紀，人們先後證明：第10個梅森數是質數，第11個梅森數是合數。質數排列得這樣雜亂無章，也給人們尋找質數規律造成了困難。
現在，數學家找到的最大的梅森數是壹個有378632位的數：2^1257787-1。數學雖然可以找到很大的質數，但質數的規律還是無法循通。
頭五千萬個質數
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摘要不按牌理出牌 數學家也拿他沒辦法
質數怎樣分布？古今中外，不論是專業的數學家或業余的嗜好者，都曾被這問題所深深吸引。
質數是個比1大的自然數，除了自身和1以外，沒有其他自然數可以除盡他。質數的分布有兩個互相矛盾的特點。下面我會列舉壹些事實，使妳永遠相信這兩個特點。
第壹點，盡管質數的定義極為簡單，又是自然數的建構磚石（任何自然數都可表為質因數的冪次的連乘積，且表法唯壹），它卻是數學家研究的對象中最不馴的壹種；質數在自然數中，像雜草似地亂長，似乎除了機會律以外，不遵守其他的規律，沒人敢說下壹個會從那裏冒出來。
第二點更令人驚訝，因?T篕P第壹點相反，質數表現出驚人的規律性。也就是說，確有規律限制質數的行為，他們像軍人壹樣絕對服從這些規律。
為了支持第壹點，我把100以下的質數和合數寫出來（除了2以外，不列偶數）：
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再把1千萬加減壹百以內的質數列出：在9,999,900與10,000,000之間的質數
9,999,901
9,999,907
9,999,929
9,999,931
9,999,937
9,999,943
9,999,971
9,999,973
9,999,991
在10,000,000與10,000,100之間的質數
10,000,019
10,000,079
妳看！沒有什麼理由可以說這個數是質數，那個數不是質數。當妳看到這些數字時，是否聯想到宇宙的奧秘，像天邊那閃爍的星星壹樣神秘不可測？甚至數學家都無法揭開此壹奧秘，如果他們能夠，他們就不會勞神苦思去計算下壹個更大的質數是多少了。（沒有人會想去找比前壹個平方數更大的平方數，或2的冪次數——通常壹個好學生只記到210=1024）。
1876年，Lucas證明2127-1為質數，這紀錄維持了75年。這也難怪，因為
2127-1
=1701411834604469231731687303715884105727
直到1951年，電子計算機的新紀元，更大的質數陸續發現（見下表歷次記錄）。目前的記錄是6002位的219937-1，不信的話，妳可以去查Guiness世界記錄。（編者註：根據合眾國際社1978年11月15日報導，這記錄已被兩個18歲的加州大學學生打破。）
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質數的規律
更有趣的，還是關於質數的規律。前面已提到過100以下的質數，現在用圖表示，其中π(x)表示所有不大於x的質數的個數。
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就這麼簡單的壹個圖，我們已經可以看出，除了壹些小的擾動以外，π(x)大致上增加得很有規律。
若把x值從壹百增到五萬，則此規律性變得更為明顯。見下圖：
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當某種規律自然出現時，科學家就得設法去解釋它，質數分布的規律性也不例外。關於質數分布，我們不難找到壹個良好的經驗規律。請看下表：（這表看來平凡無奇，卻代表上千小時的艱苦計算。）
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註意：x每增10倍，x與π(x)的比就增加約2.3。機警的數學家立刻聯想到10取自然對數的近似值是2.3。所以x/π(x)～logx，亦即π(x)～x/logx（用log x表示x的自然對數，～表示當x接近無窮大時，π(x)與x/logx的比趨近於1；如果用≈，則表示接近的程度更好。）
質數定理
這個關系叫做質數定理，是高斯1791年發現的，但直到1896年才得到證明。高斯（1777～1855年，關於高斯與質數定理，請參閱凡異出版社，偉大數學家的壹生——高斯）14歲那年收到壹本對數的書；次年，研究書上所附的質數表，發現了這個定理。終其壹生，高斯壹直很註意質數分布，並且花了很多功夫去計算。高斯寫信給他學生安克（Encke）說他「時常花費零星的片刻計算1000個連續整數（如18001到19000）中有多少質數」，最後他竟能列出三百萬以下的所有質數，並且拿來和他的推測公式比較。
質數定理說π(x)是漸近地，即相對誤差趨近於0，等於x/logx。但是如果拿x/logx與π(x)的圖形加以比較，則可看出，雖然x/logx反映了π(x)行為的本質，卻還不足以說明π(x)的平滑性。
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所以，我們希望找到更佳的近似函數。如果我們再仔細看看前面那個表，會發現x/π(x)差不多恰為logx-1。經過更小心地計算，並和π(x)的更精密數據相較，樂強何（Legendre）在1808年找到特佳的近似。即
π(x)≈x/(log-1.08366)
另有壹種π(x)的近似函數也不錯，是高斯與質數定理同時提出的。從經驗得知，當x很大時，在x附近出現質數的或然率差不多恰為1/logx。因此，π(x)差不多應為
對數和：Ls(x)=1/log2+1/log3+…+1/logx或實值上相同的
對數積分：瀏覽原件
現在再比較Li(x)與π(x)的圖形，把座標軸的尺度取到這麼大時，兩者完全重合。
沒有必要再把樂強何的近似圖形列出來給大家看，因為在0到5萬之間，他的近似比Li(x)更加接近π(x)。
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質數的冪次
再提壹個π(x)的近似函數。從黎曼（Riemann）研究質數的結果顯示，如果我們在計算質數以外，還計算質數的冪次（質數的平方算半個質數，質數的立方算1/3個質數，依此類推），則壹個很大的數x為質數的或然率將更接近1/logx。從此導出
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或
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第二式右邊的函數定名為R(x)以紀念黎曼。從下表可以看出它與π(x)有驚人的吻合。
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R(x)可以表為
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在這裏要強調壹點，高斯和樂強何的近似都是由經驗歸納而來的，不是由邏輯證明得到的。甚至黎曼函數也是如此，雖然他的R(x)有理論的解釋，他從未證明出質數定理。Hadamard以及de la Vall'eePoussin根據黎曼的工作，繼續研究，終於在1896年首度完成證明。
孿生質數
關於質數的規律性，我們再來看壹些數值的例子。前面說過，在x附近的壹個數其為質數的或然率為1/logx。換句話說，假使取壹以x為中心，長度為a的區間，這區間長得足以使統計成為有意義，而與x相較，又足夠小時，其中質數的個數，應該約為a/logx。例如，在壹億至壹億零壹拾伍萬之間，預計有8142個質數，因為
150,000/log(100,000,000)=150,000/18.427… ≈8142
根據同樣的想法，在x附近的任意兩數同時為質數的或然率應約為1/(logx)2。所以如果有人問在x到x＋a之間有多少孿生質數（連續兩個奇數都是質數，如11,13或59,61），則我們可以預計有a/(logx)2個。事實上，我們可以預計多些，因為n已是質數，使n＋2為質數的可能性稍稍加大。（例如n＋2必為奇數）。用壹個容易的直觀的論點，可以得到在〔x,x＋a〕中，孿生質數的對數為C．a/(logx)2，此處C＝1.3203236316…。
所以在壹億至壹億零壹拾伍萬之間應有(1.32…)．150,000/(18.427)2≈584對孿生質數。下表列出壹些同長區間中質數及孿生質數的預測值及真值。由下表可以看出，理論和實際有極佳的吻合。對於孿生質數而言，這種吻合更令人驚訝。因為孿生質數是否為無窮，這問題直到現在尚無定論，遑論他的分布定律了。
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質數的距離
關於質數分布的規律性，最後壹個例子就是相鄰兩質數的距離。若有人去查質數表，會註意到有時距離相當大。例如113和127之間無其他質數。令g（x）表x以下，所有相鄰質數的最大距離。則g（200）＝127-113＝14。當然，g（x）增加得極不規則。但是用壹個直覺的論點可以得到下列漸近公式，g(x)～(logx)2。從下圖可以看出，像g（x）這樣極不規則的函數，其行為和預測能符合的程度。
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到現在為止，質數的規律性說得較多，不規律性說得很少。而本文標題「頭五千萬個質數」，我也只提到前幾千個而已。所以現在先列壹表，比較π(x)，樂強何，高斯，黎曼四函數在x小於壹千萬範圍內的差異。因為這四種函數在圖上分辨不出差異，如前面所列π(x)與Li的比較圖，所以現在這圖只表示這三種函數與π(x)的差。我想從這圖足以看出，壹個有誌研究數論的人可能遇到的麻煩有多大。當x很小時（小於壹百萬），x/logx-1.08366比Li（x）近似π(x)，但是五百萬以後，Li（x）變得較近似，而且可以證明當x更增加時，Li（x）總是較近似π(x)。
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就算我們討論到壹千萬，其中也只有60萬多個質數。要達到應許的五千萬個質數，x必須為十億。下圖表示十億以內R(x)-π(x)的圖形。R(x)-π(x)的振動變得愈來愈大，但即使到十億這麼大，振動仍在幾百以內。
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順便提另壹個π(x)的趣事。從圖上可以看出，在壹千萬以內，Li（x）總是大於π(x)，10億以內仍然如此。見下圖（此圖以對數尺寸繪出）。
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上圖給我們壹個印象，當x繼續增加時，Li（x）-π(x)會穩定地無限增加。但是上述推測錯了！事實上，立特伍（Littlewood）可以證明有某x值，而π(x)會大於Li（x）。但到目前為止，並未真正找到壹個確數，使此事成立，而且恐怕永遠不會找到。但是立特伍的證明不可能有誤，而且Skewes更證明在瀏覽原件以內就有壹個這樣的數。英國名數學家Hardy有壹次說，這可能是數學上有確定目的的數字中最大的了。總而言之，此例說明了，在質數理論裏，僅僅依賴數據就想要導出結論的作法是多麼不智啊！
〔本文節譯自“The First 50 million Prime Numbers”，原文刊登在The New Mathematical Intelligencer, Vol. 0, Aug. 1977，為原作者Don Zagier就任德國波昂大學教授的就任演說稿。〕