若數列有無窮項，設上界a，下界b
做二等分[a,(a+b)/2],[(a+b)/2,b]
其中必有壹含有xn中的無窮多項，設為[a1,b1]
在[a1,b1]中作二等分得到[a2,b2],如此類推下去得到
[a1,b1]包含[a2,b2]包含[a3,b3]包含...包含[an,bn]包含...
那麽有lim [an,bn]=c
從[a1,b1]中選xp1,再在[a2,b2]中選xp2使得在xn中xp2在xp1後面。
這個xp2是選的到的。若xp1∈[a2,b2],此xp2存在。
若xp1?[a2,b2],那麽xp1後有無數多項，那麽其中必有無數多項在[a2.b2]中。
按此法選出xp1,xp2,...,xpn...
|xpk-c|<bk-ak=(b-a)/2^(k)
可知xpk->c
從而xpk收斂。
故從有限的數列中，永遠可以選出收斂的子序列。