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解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，

∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC=

AC2+CD2

=5，

∵PE∥CD，

∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD，

∴△APE∽△ADC，

又∵PD=t，AD=4，AP=AD-PD=4-t，AC=5，DC=3，

∴

AP

AD

=

AE

AC

=

PE

DC

，即

4?t

4

=

AE

5

=

PE

3

，

∴PE=-

3

4

t+3．

故答案為：-

3

4

t+3；

（2）若QB∥PE，四邊形PQBE是矩形，非梯形，

故QB與PE不平行，

當QP∥BE時，

∵∠PQE=∠BEQ，

∴∠AQP=∠CEB，

∵AD∥BC，

∴∠PAQ=∠BCE，

∴△PAQ∽△BCE，

由（1）得：AE=-

5

4

t+5，PA=4-t，BC=4，AQ=t，

∴

PA

BC

=

AQ

CE

=

AQ

AC?AE

，即

4?t

4

=

x

5?(? 5 4 t+5)

=

4t

5t

，

整理得：5（4-t）=16，

解得：t=

4

5

，

∴當t=

4

5

時，QP∥BE，而QB與PE不平行，此時四邊形PQBE是梯形；

（3）存在．

分兩種情況：

當Q在線段AE上時：QE=AE-AQ=-

5

4

t+5-t=5-

9

4

t，

（i）當QE=PE時，5-

9

4

t=-

3

4

t+3，

解得：x=

4

3

；

（ii）當QP=QE時，∠QP