正定矩陣是壹種方陣,它的元素滿足以下條件:對於所有的非零向量x和y,都有xTy>0,其中xTy表示矩陣與向量x的乘積所得的向量的內積。也就是說,對於任何壹組不全為零的向量x和y,它們的內積都為正。
正定矩陣在合同變換下可化為標準型，即單位矩陣。所有特征值大於零的對稱矩陣（或厄米矩陣）也是正定矩陣。正定矩陣壹定是非奇異的，且任壹主子矩陣也是正定矩陣。
任意壹個向量x，跟他垂直的超平面把空間分成兩部分，壹部分和x在同壹側，即滿足和x的內積為正的那側，壹部分在異側，內積為負。由定義，正定的線性變換把任意壹個向量x都變到x的同側。
如果它有實特征值，必定是正數，否則的話它會把這特征向量變到另側。壹個線性變換把壹組幺正基e1，en變到另壹組向量v1，vn，這n個新向量的端點和原點壹起構成壹個多面體。這多面體的體積就是線性變換的行列式。對正定變換來說，其行列式為正，所以這個多面體非退化，且v1，vn確定的定向和e1，en確定的定向相同。
補充
不會保持形狀不變。保持不變的必須是等距，就是說，必須是正交變換O（n）。正定變換壹般最常見的情況是正定對稱變換。正定對稱變換最常見的情況是用來定義內積。即定義＜x，y＞＝xAy為x，y的內積。
正定矩陣有以下性質
（1）正定矩陣的行列式恒為正。
（2）實對稱矩陣A正定當且僅當A與單位矩陣合同。
（3）若A是正定矩陣，則A的逆矩陣也是正定矩陣。
（4）兩個正定矩陣的和是正定矩陣。
（5）正實數與正定矩陣的乘積是正定矩陣。
判定的方法
根據正定矩陣的定義及性質，判別對稱矩陣A的正定性有兩種方法：
（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均為正數，則A是正定的；若A的特征值均為負數，則A為負定的。
（2）計算A的各階主子式。若A的各階主子式均大於零，則A是正定的；若A的各階主子式中，奇數階主子式為負，偶數階為正，則A為負定的。