N={0,1,2,3,…}
而將原自然數集稱為非零自然數集
N+(或N*)={1,2,3,…}.
自然數集擴充後,文[1]中的自然數的基數理論以及其他壹些與自然數有關的理論問題隨之起變化,這給數學教學與數學應用產生壹定影響.為此,我們將自然數的基數理論討論如下.
1 對自然數的來源的認識
由於自然數的概念是建立在基數理論[1]之上的,基數是由集合對等而來.最初人類對物品的計數,是將物品與人的手指(腳趾)數形成映射關系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“沒有”,“沒有”即可認為是空集,其計數應當是零.這就是說,零與非零自然數是人類認識同步的客觀現象,而並非是6世紀才有零的概念.也許這就是將零補充到自然數集的緣由之壹.事實上,國外許多文獻和專家早就主張將零作為第壹個自然數.
2 自然數的新概念
自然數擴充後,包含了空集的基數,要去掉原有自然數定義中“非空”的限制條件,即定義1 有限集合的基數叫做自然數.根據對等的概念,可以建立N與N+的壹壹映射關系f:
N↓={0,↓1,↓2,↓3,↓…}N+={1,2,3,4,…}
由此可見,N與N+有相同的基數,即|N|=|N+|.
3 自然數的四則運算
自然數加法、乘法運算義定只要去掉原有定義中的“非空”二字即可,亦即
定義2 設有有限集合A和B,且A∩B=Φ(A,B分離).若記A∪B=C,集合A,B,C的基數分別是a,b和c,那麽c叫做a與b的和,記作
a+b=c.
a和b叫做加數.求兩個數的和的運算叫做加法.
定義3 設有m(m>1)個相互對等,且兩兩分離的有限集合A1,A2,A3,…,Am,它們的基數都是n.又設A=Umi=1Ai,A的基數記作
a,即有a=n+n+…+nm個,這個a就叫做n乘以m的積,記作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n稱為被乘數,m稱為乘數.求兩個數積的運算叫做乘法.
對於數0,1,補充義定:n和0的積是0,n和1的積是n,即n.0=0,n.1=1.
在上述定義裏,加法、乘法的交換律、結合律,乘法對於加法的分配律仍然成立.
關於減法運算的定義,除了去掉“非空”二字外,集合B可以是A本身,即
定義4 設有有限集合A和B,B A,若記A-B=C,且A,B,C的基數分別記作a,b,c,那麽c叫做a,b的差,記作
a-b=c.
a叫做被減數,b叫做減數.求兩個數差的運算叫做減法.
除法是乘法的逆運算,在原定義中要限定“除數非零”即可.
定義5 設a,b(b≠0)是兩個自然數,如果存在壹個自然數c,使得bc=a,那麽c叫做a除以b所得的商,記作
ab=c,或a÷b=c.
a稱為被除數,b稱為除數.求兩個數商的運算叫做除法.
4 自然數的有關性質
(1)自然數的有序性決定了自然數可以比較大小,即
定義6 如果兩個有限集合A,B的基數分別為a,b,那麽
1° 當A A′,A′～B時,a>b;
2° 當B′ B,A～B′時,a<b;
3° 當A～B時,a=b.
自然數有反身律:a=a;對稱律:若a=b,則b=a;傳遞律:若a≥b,b≥c,則a≥c.
自然數從小到大的排序為
0,1,2,3,….
(2)自然數的單調性反映了不等量關系中的運算性質,擴充後的自然數其單調性有了局部性改變,即
若a≥b,則
1° a+c≥b+c;
2° 當c>0時,ac≥bc,
當c=0時,ac=bc.
對於與自然數有關的數學論證與原理,應隨自然數擴充後作相應調整.如數學歸納法證明的步驟應是
1° 驗證n=0時,命題成立;
2° 假設n=k-1時成立,則n=k時命題成立.