例子:解二階非常系數線性微分方程
解：微分方程為xy"+(x+4)y'+3y=4x+4，假設微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解為y=x?，將特解帶入方程，有x(x?)"+(x+4)(x?)'+3x?=0，r(r-1)x+r(x+4)x+3x?=0，r(r-1)x+4rx+rx?+3x?=0，(r?+3r)+(r+3)x=0，(r+3)(r+x)=0，得：r=-3，則微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解為y=x?，再設微分方程的通解為y=x?u，有x(x?u)"+(x+4)(x?u)'+3x?u=0，x(x?u"-3x?u'-3x?u'+12x?u)+(x+4)(x?u'-3x?u)+3x?u=0，x(x?u"-6x?u'+12x?u)+(x+4)(x?u'-3x?u)+3x?u=0，x?u"-6xu'+12u+(x+4)(xu'-3u)+3xu=0，x?u"+(x?-2x)u'=0，u"×e?/x?+e?(1/x?-2/x?)u'=0，(u'e?/x?)'=0，u'e?/x?=a(a為任意常數)，u'=ax?e?，u=-ax?e?-2axe?-2ae?+c(為任意常數)，微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的通解為y=(-ax?-2ax?-2ax?)e?+cx?(c為任意常數)；設原微分方程的特解為y=px+q，有p(x+4)+3(px+q)=4x+4，4px+4p+3q=4x+4，有4p=4，4p+3q=4，得：p=1，q=0，微分方程的特解為y=x，通解為y=(-ax?-2ax?-2ax?)e?+cx?+x