0.3333的循環=1/3
0.9999的循環=1
類似這樣的等式從現代連續數學的眼觀去看待不會感覺有任何問題，樓主包括和樓主壹樣困惑的壹些人肯定是沒學過數學分析或者高等數學這些課程的中小學生，我這裏提前給妳科普壹下，不深入，只要初等數學的知識就能理解，到了大學只要是理工科都會學的。
第壹步： 什麽正無窮（這裏是給中小學生科普，學過數分之後的人別嫌啰嗦也不用看）？我們不妨給它壹個符號‘+∞’，這個符號不是表示壹個數，而是壹個數學概念，事實上，它只存在於理想（假設）條件下，即它大於任何壹個妳可以取到的正數！就比如說，妳去十億億億億，這個數夠大了吧，但是他和正無窮比起來還遠遠不夠，因為十億億億億輕松可以取到壹個十億億億億零壹比他大，同樣妳再加壹個0它還可以再大十倍。而正無窮‘+∞’大於任壹個妳能夠取到的正數。
第二步：有了正無窮的概念，那我們就來看0.9999999...（無限循環）和1吧，，0.99.....後面有'正無窮'個9誒，也就是說無論妳說某個有限的0.9...之後有多少個9（比如十億億億啥的）那它都小於這個無限循環的0.9...；那麽我們就可以發現兩點：①0.9（無限循環）大於任何壹個比1要小的數！②0.9（無限循環）又不會大於1。那麽0.9無限循環就只可能等於1，事實上，我們可以寫成 ： 0.9無限循環=1-0=1（0可以看成小於任何壹個正數，是壹個無窮小量，這裏不展開了）
第三步：我們有了0.9無限循環=1,那麽同理，1/3=0.3333其實都可以證明，有壹層層主r630850213的解釋其實是完全正確的，但他引入了函數的極限 (即p^n在變量n趨向於無窮大且p不為0時等於0)，這樣就搞的很多沒有接觸過高等數學的人雲裏霧裏。
總結：事實上，人們在研究數學的時候，通過類似的推導就發現了所有的有限和無限循環小數都可以表示成分數即有理數（後面是廢話，但是想寫出來，可以不看）。正因為如此，所有的無限循環小數我們都說是有理的，至於為什麽說是有理，因為他們是有道理有規則的數，即他們是整數（比如1,2，-1,100這類的）或者能通過整數‘等分’就可以得到的數（比如0.5, 1/2 , 1/3, 0.3333..（無限循環），0.25等等），他們和無理數有本質的區別，比如無理數π，根號2之類永遠無法通過整數等分得到（也就是不能用分數得到）。