? 由此，我們得到了第壹種判定三角形全等的方法：三角形三條邊，三個角相等，則兩三角形相等，符號語言如上圖：
? 然而就如同上圖的證明過程壹樣，用三條邊三個角相等的來判斷三角形全等，似乎太過於復雜了，就連過程也要寫那麽多。那麽，到底有沒有更加簡便的方法來證明兩三角形全等呢？我們不知道，但是我們可以壹壹探索。如何探索呢？在不知道具體要多少種條件才能判斷三角形全等時，為了追求數學的簡潔性，壹般來說會從最少的條件慢慢往上加，直到條件加到足以證明猜想時才會停止，探索多少種條件能夠證明三角形全等也不例外，當然，不管條件或多或少，都必須屬於三角形要素角或邊。
? 根據條件從少到多，每壹個條件都要屬於三角形要素的原則，我們可以列出如下幾種可能性：
? 1:兩三角形壹條邊相等，則兩三角形全等。
? 2:兩三角形壹個角相等，則兩三角形全等。
? 3:兩三角形兩條邊相等，則兩三角形全等。
? 4:兩三角形兩個角相等，則兩個三角形全等。
? 5:兩三角形壹角壹邊相等，則兩三角形全等。
6:兩三角形三個角相等，則兩三角形全等。
? 7:兩三角形三條邊相等，則兩三角形全等。
? 8:兩三角形兩角和兩角的夾邊相等，則兩三角形全等。
? 9:兩三角形兩角和壹角的對邊相等，則兩三角形全等。
10:兩三角形兩邊和兩邊的夾角相等，則兩三角形全等。
11:兩三角形兩邊和壹邊的對角相等，則兩三角形全等。（這些可能直接放在PPT上）
…
此外，還有許多種可能性，但就讓我們先證明壹下以上11種可能能夠判定三角形全等的條件吧：
經過實際操作，壹個條件判定三角形全等的可能和兩個條件判定三角形全等的可能都被舉反例證偽了，具體過程可以自行嘗試，為了節省時間沒有放出來，讓我們將目光轉向三個條件判定三角形全等的可能吧：
第壹種可能，兩三角形三個角相等，兩三角形全等，可以舉出反例：以上的三角形ABC和三角形A ‘ B ’ C ‘，三個角分別相等，但是兩個三角形的三個邊都不相等。也就證明了第壹條猜想是錯誤的。但是兩個三角形的所有角都相等，雖然這兩個三角形未必全等，卻還是具有壹定的特殊性，我們管這種特殊的三角形叫做相似三角形。
第二種可能，兩三角形三條邊相等，兩三角形全等，如圖的三角形AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'，而這兩個三角形剛好全等，這到底是壹個巧合，還是壹個新的判定三角形全等的方法呢？那就讓我們在所有三角形中都試壹試吧，分別畫兩個三邊相等的銳角三角形，三邊相等的直角三角形，和三邊相等的鈍角三角形，看看這兩個三角形是否都全等，答案是，他們真的都全等！看樣子我們發現了第壹個更加簡便的判定三角形全等的方法：兩三角形三條邊相等，則兩三角形全等，簡寫語言可以用（邊邊邊）或（SSS），不過只是畫出了幾個三邊相等的三角形，而這幾個三角形全等，難道不可能是壹種機緣巧合嗎？也有可能啊？我們似乎不能證明，如果兩個三角形的邊邊邊相等，那麽這兩個三角形全等，這可怎麽辦？沒辦法，只能將我們新發現的判定三角形全等的方法標為不證自明的公理，不需要證明，為了增強可信性，我們又進行了多組幾何變換實驗，最終確定了這條新公理。符號語言如下圖
第三種可能：兩三角形的兩個角以及兩個角的夾邊相等，則兩個三角形全等，根據上圖，我們又發現符合這壹點的隨機兩個三角形全等，難道這又是壹條新的定理或者公理？趕緊將兩個角以及兩個角的夾邊相等的兩個銳角三角形，兩個直角三角形，兩個鈍角三角形都畫出來，果然這些三角形都全等，我們又發現了壹條判定兩個三角形全等的方法了，和（SSS）壹樣，兩個角以及兩個角的夾邊相等，兩三角形全等，同樣不能被推理證明，屬於公理，簡寫語言可以是（角邊角）或（ASA），符號語言如下。
第四種可能：同樣是兩個角以及壹條邊相等，但是第四種可能是兩個角以及壹個角的對邊相等，在這種情況下兩三角形還全等嗎？相等，其實兩個角以及壹角對邊相等的兩個三角形全等根本就不需要畫圖證明，而可以直接證明：
因為：角C=角C'，角B=角B'
所以：角A=角A‘=180度-角C-角B
因為：在三角形ABC和A’B'C'中，角A=角A'，角B=角B'，A B等於A ‘B ’
所以：三角形ABC全等與A'B'C'（ASA）
利用兩三角形的兩角及兩角的夾邊相等公理，我們能夠推導出兩角及壹角的對邊相等，因為能夠用嚴謹的邏輯推理證明證明出這壹點，所以兩三角形兩角和壹角的的對邊相等，則兩三角形全等是壹個公理，簡寫語言可以是（角角邊）或（AAS）。符號語言如下
第五種可能：兩三角形兩邊及兩邊的夾角相等，則兩三角形全等，隨即畫出的三角形是全等的，在分別畫出倆三角形，兩邊及兩邊的夾角相等的兩個銳角三角形，直角三角形，和鈍角三角形，發現他們都相等，這說明第四個快速判定三角形全等的方法來了：當兩三角形的兩邊及兩邊的夾角相等，則兩三角形全等，這種方法不能證明，同樣是公理。符號語言如下。
第六種可能：兩三角形兩邊及壹邊的對角相等，兩三角形全等，這種情況之下我們可以畫出反例，如圖，兩個三角形ABC的角A相等，B A邊和B C邊也分別相等，但是這兩個三角形並不全等。也就由此證明了兩三角形兩邊及壹邊的對角相等，並不壹定會使兩個三角形全等。
通過壹番探索，我們發現在得到三個三角形要素作為條件的時候，有四種可能可以證明三角形全等，壹種是兩三角形，三邊相等，則兩三角形全等。壹種是兩三角形兩角及兩角所夾的邊相等，則兩三角形全等。壹種是兩三角形兩角及壹角對邊相等，則兩三角形全等，。壹種是兩三角形兩邊及兩邊的夾角相等，兩個三角形全等。
? 利用這些三角形全等的判定方法，我們可以成功地解決幾何當中的許多問題，這些幾何問題無非是給妳幾個條件，然後讓妳根據給出的條件以及自己所發現的條件去證明其中的兩個三角形全等，在最後根據三角形全等性質推測出兩個角或者兩個邊相等。就比如說以下問題。
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在課堂上，但我學完證明三角形全等的時候，我心裏是既激動又疑惑的，激動在於我們用了那麽多的時間，那麽多的巧妙的邏輯推理證明，最終竟然得出了三種非常簡單，就能判定兩個三角形全等的方法，實在是成就感滿滿的，壹會又在於三角形全等在現實生活中到底有什麽用，當時我是這樣想的：“也許三角形全等在現實生活中就根本沒有任何用處，之所以要學習三角形全等，只不過為了鍛煉人們的推理證明能力而已”，但是在之後的學習中，我非常驚喜的發現事實並不是這樣的，三角形全等確確實實可以用在現實生活中，而且是解決現實生活中的測量問題
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在接下來，只需要測量在自己岸邊的線段M N的距離，可以知道線段B C的距離，也就是小河的寬，為什麽呢？因為根據垂線定義B C垂直於C M ，M N垂直於M C，所以角B C A等於角NM A=90度，因為角D A C和角N A M是對頂角，所以兩個角相等，最後，因為在三角形ABC和三角形A M N中：角B CA等於角A M N，A C等於AM（這是畫圖的時候就已經得知的信息，相當於已知信息），角B A C等於角，M A N，所以三角形ABC全等於三角形A MN，依據就是以上推導出來的邊角邊（ASA），然後用因為三角形ABC全等於三角形A MN，所以B C等於MN，所以只要測量M N的距離，就能測量出B C的距離。
? 這便是神奇的三角形全等了，除了可以應用到實際生活中，又或者解決幾何問題，三角形全等的作用還延伸到了許多其他的概念當中，比如說最近我們學的軸對稱，以及探索我們生活中的其他簡便圖形的性質，就都可以用三角形全等，又或者三角形全等判定和三角形全等性質進行求得。
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