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算術壹般就是指自然數、正分數的四則運算，同時作為現代小學課程內容，主要通過計數、度量而引入壹些簡單的應用題。算術的主體內容雖然難度不大，卻是數學中最古老的壹個分支，經過長達數千年的時間，逐漸地積累起來的，並作為經驗不斷凝固在人們的意識中。自然數是在為滿足生產、生活中的計算和計數需求，而產生的抽象概念。除了計數需求，還要計算包括長度、重量和時間在內的各種量，因此進壹步出現分數。現代初等算術運算方法的發展，起源於10世紀或11世紀的印度；經阿拉伯人傳到歐洲。15世紀，被改造成現在的形式。19世紀中葉，格拉斯曼首次成功地挑選出壹個定義加法與乘法運算的基本公理體系；而算術的其它命題，可以作為邏輯的結果，從該體系中得到推導。後來，皮亞諾進壹步完善了格拉斯曼的體系。算術的基本概念和邏輯推論法則，以人類的實踐活動為基礎，深刻地反映了世界的客觀規律性，構成了數學其它分支的最堅實的基礎。
初等代數是古老算術的演變、推廣和發展。 在古代，當算術積累了豐富的數量問題的解法後，為尋求更系統的、更普遍的方法，以解決各種數量關系問題，產生了方程的求解為中心問題的初等代數。以至於長期以來，數學家們把代數學理解成方程的科學，並把主要精力集中在方程的研究上。即研究數字和文字的代數運算理論和方法，更確切的說，是研究多項式的代數運算理論和方法，其研究方法是計算性的。
討論方程，首先是如何把實際中的數量關系表達為代數式，根據等量關系列出方程。其中代數式包括整式、分式和根式這三大類。代數式可以進行加、減、乘、除四則運算，以及乘方和開方，服從基本運算定律。
解方程問題的發展過程中，數系得到了擴充。算術中討論的整數和分數的概念擴充到有理數的範圍，因此初等代數能解決更多的問題。但仍然存在壹些方程在有理數範圍內無解。於是，數的概念再壹次擴充到實數，進而又進壹步擴充到復數。
那麽復數範圍內還會存在方程無解嗎，復數還需要進行擴展嗎？NO！代數學壹個著名的定理—— 代數基本定理 表明：n次方程有n個根。1742年12月15日，歐拉在壹封信中明確地陳述了代數基本定理，德國的數學王子高斯在1799年給出了嚴格的證明。
綜合上面的敘述，組成初等代數的基本內容就是：
有上述基本內容可以看出，初等代數內容的學習設置於現代中學課程中，作為算術的繼續和推廣，主要的問題就是代數式的有限次數的代數運算，以及產生的方程求解。
代數方程的求解發展簡史：
初等代數學向兩個方向進壹步發展：未知數更多的壹次方程組；未知數次數更高的高次方程。在這兩個方向上的發展，使得代數學發展到高等代數的階段。高等代數作為代數學發展到高級階段的總稱，包括許多分支。現在大學裏開設的高等代數，壹般包括兩部分：線性代數和多項式代數。
高等代數的研究對象，在初等代數的基礎上進壹步擴充，引入了包括集合、向量、向量空間、矩陣、行列式等在內的新概念。這些新概念具有和數相類似的運算特點，但其研究的方法和運算的方法更加抽象和復雜，新對象的運算，並不總是符號數的基本運算定律。於是代數學納入了包括群論、環論、域論在內的代數系統，其中群論是研究數學和物理現象的對稱性規律的有力工具，也成為現代數學中最具概括性的重要的數學概念，廣泛應用於其他部門。
高等代數的基本內容
多項式可視為壹類簡單的函數，其應用非常廣泛。多項式理論的中心問題是，代數方程根的計算和分布，也叫做方程論。研究多項式理論，主要在於探討代數方程的性質，尋找解方程的方法。
多項式代數所研究的內容，包括整除性理論、最大公因式、重因式等。其中整除性質對於解代數方程是很有用的。解代數方程對應多項式的零點問題，零點不存在，所對應的代數方程無解。
在線性代數中最重要的概念是：行列式和矩陣。行列式的概念最早由日本數學家關孝和在1683年的著作《解伏題之法》中提出，並給予較詳細的敘述。歐洲第壹個提出行列式概念的是萊布尼茨。1841年，德國數學家雅可比總結並提出了行列式的系統理論。
行列式具有壹定的計算規則，它可以作為解線性方程組的工具，把壹個線性方程組的解表示成公式，這也意味著行列式是壹個數，或壹種運算。
由於行列式有著相同的行數和列數，排成的表是正方形的，基於行列式的研究進而發現了矩陣的理論。同是由數排成行和列的數表，矩陣是壹個數組，且行數和列數不要求相等。利用矩陣，可以把線性方程組中的系數組成向量空間中的向量；基於矩陣理論，多元線性方程組的解的結構問題，得到徹底解決。除此之外，矩陣在力學、物理、科技等方面得到廣泛的應用。
抽象代數也被稱為近世代數，創始人之壹是被譽為天才數學家的伽羅華。伽羅華通過研究代數方程存在根式解所滿足的條件，給出了全面而透徹的解答，解決了困擾數學家們長達數百年之久的問題，並提出的“Galois域”、“Galois群”和“Galois理論”都是近世代數所研究的最重要的課題。Galois群理論被公認為19世紀最傑出的數學成就之壹。Galois群論還給出了幾何圖形能否用尺規作圖的壹般判別法，圓滿解決了三等分任意角、倍立方體的問題。更重要的是，群論開辟了全新的研究領域，以結構研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉變為用結構觀念研究的思維方式，並把數學運算歸類，使群論迅速發展成為壹門嶄新的數學分支，對近世代數的形成和發展產生了巨大影響。
1843年，哈密爾頓發明了不滿足乘法交換律的“四元數”。第二年，格拉斯曼推演出更具壹般性的幾類代數。1857年，凱萊設計出另壹種不可交換的矩陣代數。這些研究打開了抽象代數的大門。事實上，減弱或刪去普通代數的某些假定，或將某些假定與其他可兼容的假定代替，就能得到許多種代數體系。
抽象代數的奠基人及理論
抽象代數的研究對象 是各種抽象的、公理化代數系統。由於代數可處理實數、復數以外的向量、矩陣、變換等對象，並分別依賴它們各有的演算定律，而數學家將它們***有的內容升華抽象出來，達到更高層次的抽象代數，使之成為當代大部分數學的通用語言。抽象代數自身包含有群、環、Galois理論、格論等許多分支，並與數學其它分支交叉而產生了代數幾何、代數數論、代數拓撲、拓撲群等新的數學學科。