對於任意多項式P(x)與復數a, x-a | P(x)當且僅當P(a) = 0.
由美麗多項式的條件f(x) | f(x^2), 可以推出f(x)在復數範圍內的所有根都是f(x^2)的根.
寫出來就是: 若復數a滿足f(a) = 0, 則f(a^2) = 0.
此外, 若f(x)沒有重根, 上述結果是充要條件.
因為f(x)在復數範圍內可分解為彼此互素的壹次因子的乘積, 每個因子都整除f(x^2).
於是它們的乘積f(x)也整除f(x^2).
把上面得到的條件寫成: 若a是f(x)的根, 則a^2也是f(x)的根.
再由a^2是f(x)的根, 得到a^4是f(x)的根, 依此類推, a^8, a^16,...都是f(x)的根.
但對非零多項式f(x), 至多有有限個根, 因此存在m < n使a^m = a^n.
化為a^m·(a^(n-m)-1) = 0, 即有a = 0或a是單位根(即a的某個正整數方冪 = 1).
我們得到: 美麗多項式的根只能為0或單位根.
再來討論壹下單位根.
若a是方程x^n = 1的壹個復根, 則稱a是壹個n次單位根(壹個數可以同時是不同次數的單位根).
若a是壹個n次單位根, 容易驗證對任意整數k, a^k也是n次單位根.
全體n次單位根恰好對應復平面單位圓周上的n等分點: cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n), k = 0, 1, ..., n-1.
記ζ(n) = cos(2π/n)+isin(2π/n), 可知n次單位根都可以寫成ζ(n)^k, k = 0, 1, ..., n-1.
如果將ζ(n)^k對應到k, 可以看到n次單位根的乘法運算和mod n的剩余類的加法運算是壹致的.
因此n次單位根的平方對應mod n剩余類乘2.
以上觀察足夠解決這個問題了(其實還包含了不少用不到的結果).
2. 次數為1的美麗多項式只有x與x-1(或它們的非零常數倍).
通過乘以非零常數使首項系數為1, 不妨設次數為1的美麗多項式為x-a.
由a是它的根, 可得a^2也是它的根, 代入得a^2-a = 0, 解得a = 0,1.
1. x^2+x+1是美麗多項式.
這個可以直接驗證, 也可以由x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)知道x^2+x+1的兩個根分別為ζ(3)與ζ(3)^2.
註意由ζ(3)^3 = 1, 有ζ(3)^4 = ζ(3), 又x^2+x+1無重根, 故為美麗多項式.
而x^2+x+1不被壹次的美麗多項式x或x-1整除, 因此是不可降解的.
3. x^2+x+1不是唯壹的次數為2的不可降解美麗多項式.
x^2-1也是不可降解的, 因為雖然x^2-1 = (x-1)(x+1), 但是x+1不是美麗多項式.
這兩個是僅有的次數為2的不可降解美麗多項式.
設f(x)是次數為2的美麗多項式, a是f(x)的壹個根, 有a^2, a^4都是f(x)的根.
若a^2 = a, 有a = 0,1, 有x | f(x)或x-1 | f(x).
f(x)的另壹根b滿足b^2 = a或b^2 = b, 於是f(x) = x^2, (x-1)^2, x(x-1)或x^2-1.
若a^2 ≠ a, 則a^4 = a或a^2, 解得a = ζ(3), ζ(3)^2或-1.
於是f(x) = x^2+x+1或x^2-1.
4. 我們用單位根構造n次的不可降解的美麗多項式.
若a是f(x)的根, 有a^2, a^4, a^8,...都是f(x)的根.
我們希望f(x)有n個不同的根, 不妨讓它們為a, a^2, a^4,..., a^(2^(n-1)), 並使a^(2^n) = a.
可取a = ζ(2^n-1), 此時a, a^2, a^4,..., a^(2^(n-1))兩兩不等.
以它們根的多項式f(x)是美麗多項式.
假設美麗多項式g(x) | f(x), 則g(x)包含f(x)的某個根a^(2^k).
由g(x)是美麗多項式, a^(2^(k+1)), a^(2^(k+2)),...都是g(x)的根.
特別的, a = a^(2^n)也是g(x)的根, 進而a, a^2, a^4,..., a^(2^(n-1))都是g(x)的根.
因此f(x) | g(x), 二者相差常數倍.
於是f(x)沒有非平凡的美麗多項式因式, 是不可降解的.
需要註意的是, 這樣構造的美麗多項式是復系數的.
如果限制為實系數, 那麽未必存在不可降解的美麗多項式, 例如3次就不存在.
另外構造方法還有很多, 例如(x-1)(x-(-1))(x-√(-1))(x-√√(-1))...