勾股定理是比較簡單的知識點了，關鍵是要靈活利用a2+b2=c2。以下是我粘過來的，希望對妳有所幫助吧。/Html/Article/19205/新人教版八年級下冊勾股定理全章知識點和典型例習題壹、基礎知識點：1．勾股定理內容：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那麽勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數學家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，後來人們進壹步發現並證明了直角三角形的三邊關系為：兩直角邊的平方和等於斜邊的平方2.勾股定理的證明 勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法 用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是①圖形進過割補拼接後，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變②根據同壹種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理常見方法如下：方法壹：化簡可證． 方法二： 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等於大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為 大正方形面積為 所以方法三：，，化簡得證 3.勾股定理的適用範圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系，它只適用於直角三角形，對於銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這壹特征，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形4.勾股定理的應用①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中，，則，，②知道直角三角形壹邊，可得另外兩邊之間的數量關系③可運用勾股定理解決壹些實際問題5.勾股定理的逆定理 如果三角形三邊長，，滿足，那麽這個三角形是直角三角形，其中為斜邊 ①勾股定理的逆定理是判定壹個三角形是否是直角三角形的壹種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這壹定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以，，為三邊的三角形是直角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是銳角三角形；②定理中，，及只是壹種表現形式，不可認為是唯壹的，如若三角形三邊長，，滿足，那麽以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊 ③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等於兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形6.勾股數 ①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，，，為正整數時，稱，，為壹組勾股數②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如；；；等③用含字母的代數式表示組勾股數： （為正整數）； （為正整數）（，為正整數）7．勾股定理的應用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關系的證明問題．在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什麽，以便運用勾股定理進行計算，應設法添加輔助線（通常作垂線），構造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解．8.．勾股定理逆定理的應用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷壹個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論．9.勾股定理及其逆定理的應用勾股定理及其逆定理在解決壹些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的壹個整體．通常既要通過逆定理判定壹個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決．常見圖形：10、互逆命題的概念 如果壹個命題的題設和結論分別是另壹個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中壹個叫做原命題，那麽另壹個叫做它的逆命題。二、經典例題精講題型壹：直接考查勾股定理例1.在中，． ⑴已知，．求的長⑵已知，，求的長分析：直接應用勾股定理解：⑴⑵題型二：利用勾股定理測量長度例題1 如果梯子的底端離建築物9米，那麽15米長的梯子可以到達建築物的高度是多少米？解析：這是壹道大家熟知的典型的“知二求壹”的題。把實物模型轉化為數學模型後，.已知斜邊長和壹條直角邊長，求另外壹條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！根據勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.例題2 如圖（8），水池中離岸邊D點1.5米的C處，直立長著壹根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，並求水池的深度AC.解析：同例題1壹樣，先將實物模型轉化為數學模型，如圖2. 由題意可知△ACD中,∠ACD=90?SPAN>,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，這是典型的利用勾股定理“知二求壹”的類型。標準解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖2，根據勾股定理，AC2+CD2=AD2設水深AC= x米，那麽AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2.故水深為2米.題型三：勾股定理和逆定理並用——例題3 如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點，F是AB上壹點，且那麽△DEF是直角三角形嗎？為什麽？解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍壹看有點摸不著頭腦。仔細讀題會意可以發現規律，沒有任何條件，我們也可以開創條件，由可以設AB=4a，那麽BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那麽在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中，分別利用勾股定理求出DF,EF和DE的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷△DEF是否是直角三角形。 詳細解題步驟如下：解：設正方形ABCD的邊長為4a,則BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理EF2=5a2, DF2=25a2在△DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2 ∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90?SPAN>.註：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習題。題型四：利用勾股定理求線段長度——例題4 如圖4，已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取壹點E，將△ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長.解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設元是關鍵。詳細解題過程如下：解：根據題意得Rt△ADE≌Rt△AEF∴∠AFE=90?SPAN>, AF=10cm, EF=DE設CE=xcm，則DE=EF=CD－CE=8－x在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8－x) 2=x2+42∴64－16x+x2=2+16∴x=3(cm),即CE=3 cm註：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直——例題5 如圖5，王師傅想要檢測桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和CD邊，他測得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗證AD邊與CD邊是否垂直？解析：由於實物壹般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗證。如圖4，矩形ABCD表示桌面形狀，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想為什麽要設為這兩個長度？)，連結MN，測量MN的長度。①如果MN=15,則AM2+AN2=MN2,所以AD邊與AB邊垂直；②如果MN=a≠15,則92+122=81+144=225, a2≠225,即92+122≠ a2，所以∠A不是直角。利用勾股定理解決實際問題—— 例題6 有壹個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內，燈就自動打開，壹個身高1.5米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應該是頭先距離燈5米。轉化為數學模型，如圖6 所示，A點表示控制燈，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN當頭（B點）距離A有5米時，求BC的長度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可計算BC=4米.即使要走到離門4米的時候燈剛好打開。題型六：旋轉問題：例1、如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉後，能與△ACP′重合，若AP=3，求PP′的長。變式1：如圖，P是等邊三角形ABC內壹點，PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的邊長.分析：利用旋轉變換，將△BPA繞點B逆時針選擇60埃蹕叨渭?械酵?桓鋈?切沃校?/SPAN>根據它們的數量關系，由勾股定理可知這是壹個直角三角形. 變式2、如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90埃?SPAN>E、F是BC上的點，且∠EAF=45埃?/SPAN>試探究間的關系，並說明理由. 題型七：關於翻折問題例1、如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上壹點，將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點G處，求BE的長.變式：如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45埃?選?/SPAN>ADC沿直線AD翻折，點C落在點C’的位置，BC=4,求BC’的長.題型八：關於勾股定理在實際中的應用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有壹所中學，AP=160米，點A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機行駛時，周圍100米以內會受到噪音影響，那麽拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千米/小時，那麽學校受到影響的時間為多少？ 題型九：關於最短性問題例5、如右圖1－19，壁虎在壹座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發現在自己的正上方油罐上邊緣的B處有壹只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的註意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿壹條螺旋路線，從背後對害蟲進行突然襲擊．結果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了壹頓美餐．請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（π取3.14，結果保留1位小數，可以用計算器計算）變式：如圖為壹棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm，假設壹只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點沿表面爬行至右側面的B點，最少要花幾秒鐘？三、課後訓練：壹、填空題1．如圖(1)，在高2米，坡角為30暗穆ヌ荼礱嫫痰靨海?靨旱某ぶ遼儺?/SPAN>________米． 圖(1)2．種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內部底面半徑為2.5㎝，高為12㎝，吸管放進杯裏，杯口外面至少要露出4.6㎝，問吸管要做㎝。3．已知：如圖，△ABC中，∠C = 90?/SPAN>，點O為△ABC的三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，點D、E、F分別是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，則點O到三邊AB，AC和BC的距離分別等於cm4．在壹棵樹的10米高處有兩只猴子，壹只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處。另壹只爬到樹頂D後直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，則這棵樹高_____________________米。5.如圖是壹個三級臺階，它的每壹級的長寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有壹只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是_____________.二、選擇題1．已知壹個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（ ） A、25 B、14 C、7 D、7或252．Rt△壹直角邊的長為11，另兩邊為自然數，則Rt△的周長為（ ） A、121 B、120 C、132 D、不能確定3．如果Rt△兩直角邊的比為5∶12，則斜邊上的高與斜邊的比為（ ） A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶1694．已知Rt△ABC中，∠C=90埃?SPAN>a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積是（ ） A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm25．等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則三角形的面積為（ ） A、56 B、48 C、40 D、326．某市在舊城改造中，計劃在市內壹塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要（ ） A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元7．已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（ ） A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm28．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長為A．42 B．32 C．42或32 D．37或339. 如圖，正方形網格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC是 （ ）（A）直角三角形 (B)銳角三角形 (C)鈍角三角形(D)以上答案都不對三、計算1、如圖，A、B是筆直公路l同側的兩個村莊，且兩個村莊到直路的距離分別是300m和500m，兩村莊之間的距離為d(已知d2=400000m2)，現要在公路上建壹汽車停靠站，使兩村到停靠站的距離之和最小。問最小是多少？2、如圖1-3-11，有壹塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將妳手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角頂點P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當移動三角板頂點P：①能否使妳的三角板兩直角邊分別通過點B與點C？若能，請妳求出這時 AP 的長；若不能，請說明理由.②再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH 始終通過點B，另壹直角邊PF與DC的延長線交於點Q，與BC交於點E，能否使CE=2cm？若能，請妳求出這時AP的長；若不能，請妳說明理由.四、思維訓練：1、如圖所示是從長為40cm、寬為30cm的矩形鋼板的左上角截取壹塊長為20cm，寬為10cm的矩形後，剩下的壹塊下腳料。工人師傅要將它做適當的切割，重新拼接後焊成壹個面積與原下腳料的面積相等，接縫盡可能短的正方形工件，請根據上述要求，設計出將這塊下腳料適當分割成三塊或三塊以上的兩種不同的拼接方案（在圖2，3中分別畫出切割時所沿的虛線，以及拼接後所得到的正方形，保留拼接的痕跡）。 2、葛藤是壹種刁鉆的植物，它自己腰桿不硬，為了爭奪雨露陽光，常常饒著樹幹盤旋而上，它還有壹手絕招，就是它繞樹盤升的路線，總是沿著短路線—盤旋前進的。難道植物也懂得數學嗎？如果閱讀以上信息，妳能設計壹種方法解決下列問題嗎？如果樹的周長為3 cm，繞壹圈升高4cm，則它爬行路程是多少厘米？如果樹的周長為8 cm，繞壹圈爬行10cm，則爬行壹圈升高多少厘米？如果爬行10圈到達樹頂，則樹幹高多少厘米？3、在，△ABC中，∠ACB=90埃?/SPAN>CD⊥AB於D,求證：。
以上回答妳滿意麽？