壹、選擇題（***5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了英文代號的四個結論，其中有且只有壹個結論是正確的. 請將正確結論的代號填入題後的括號裏. 不填、多填或錯填，得零分）
1．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，則 的值等於 ( )
(A) (B) (C) (D)
2．在本埠投寄平信，每封信質量不超過20g時付郵費0.80元，超過20g而不超過40g時付郵費1.60元，依次類推，每增加20g需增加郵費0.80元（信的質量在100g以內）.如果所寄壹封信的質量為72.5g，那麽應付郵費 ( )
(A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元
3．如下圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°
4．四條線段的長分別為9，5，x，1（其中x為正實數），用它們拼成兩個直角三角形，且AB與CD是其中的兩條線段（如上圖），則x可取值的個數為（ ）
(A)2個 (B)3個 (C)4個 (D) 6個
5．某校初三兩個畢業班的學生和教師***100人壹起在臺階上拍畢業照留念，攝影師要將其排列成前多後少的梯形隊陣（排數≥3），且要求各行的人數必須是連續的自然數，這樣才能使後壹排的人均站在前壹排兩人間的空擋處，那麽，滿足上述要求的排法的方案有( )
(A)1種 (B)2種 (C)4種 (D) 0種
二、填空題（***5小題，每小題6分，滿分30分）
6．已知 ，那麽 .
7．若實數x，y，z滿足 ， ， ，則xyz的值為 .
8．觀察下列圖形：
① ② ③ ④
根據圖①、②、③的規律，圖④中三角形的個數為 .
9．如圖所示，已知電線桿AB直立於地面上，它的影子恰好照
在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD與地面成45?，∠A=60?，
CD=4m，BC= m，則電線桿AB的長為_______m.
10．已知二次函數 （其中a是正整數）的圖象經 過點A（－1，4）與點B（2，1），並且與x軸有兩個不同的交點，則b+c的最大值為 .
三、解答題（***4題，每小題15分，滿分60分）
11．如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC平行於弦AD，過點D作DE⊥AB於點E，連結AC，與DE交於點P. 問EP與PD是否相等？證明妳的結論.
解：
12．某人租用壹輛汽車由A城前往B城，沿途可能經過的城市以及通過兩城市之間所需的時間（單位：小時）如圖所示. 若汽車行駛的平均速度為80千米/小時，而汽車每行駛1千米需要的平均費用為1.2元. 試指出此人從A城出發到B城的最短路線（要有推理過程），並求出所需費用最少為多少元？
解：
13B．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
（1）當點D在斜邊AB內部時，求證： .
（2）當點D與點A重合時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.
（3）當點D在BA的延長線上時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.
14B．已知實數a，b，c滿足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求 的最小值.
註：13B和14B相對於下面的13A和14A是較容易的題. 13B和14B與前面的12個題組成考試卷.後面兩頁 13A和14A兩題可留作考試後的研究題.
13A．如圖所示，⊙O的直徑的長是關於x的二次方程 （k是整數）的最大整數根. P是⊙O外壹點，過點P作⊙O的切線PA和割線PBC，其中A為切點，點B，C是直線PBC與⊙O的交點.若PA，PB，PC的長都是正整數，且PB的長不是合數，求 的值.
解：
14A．沿著圓周放著壹些數，如果有依次相連的4個數a，b，c，d滿足不等式 >0，那麽就可以交換b，c的位置，這稱為壹次操作.
（1）若圓周上依次放著數1，2，3，4，5，6，問：是否能經過有限次操作後，對圓周上任意依次相連的4個數a，b，c，d，都有 ≤0？請說明理由.
（2）若圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數1，2，…，2003，問：是否能經過有限次操作後，對圓周上任意依次相連的4個數a，b，c，d，都有 ≤0？請說明理由.
解：（1）
（2）
2003年“TRULY?信利杯”全國初中數學競賽試題參考答案與評分標準
壹、選擇題（每小題6分，滿分30分）
1．D
由 解得 代入即得.
2．D
因為20×3<72.5<20×4，所以根據題意，可知需付郵費0.8×4=3.2（元）.
3．C
如圖所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，
而∠BMN +∠FNM =∠D＋180°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
4．D
顯然AB是四條線段中最長的，故AB=9或AB=x.
（1）若AB=9，當CD=x時， ， ；
當CD=5時， ， ；
當CD=1時， ， .
（2）若AB=x，當CD=9時， ， ；
當CD=5時， ， ；
當CD=1時， ， .
故x可取值的個數為6個.
5．B
設最後壹排有k個人，***有n排，那麽從後往前各排的人數分別為k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由題意可知 ，即 .
因為k，n都是正整數，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n與2k+（n－1）的奇偶性不同. 將200分解質因數，可知n=5或n=8. 當n=5時，k=18；當n=8時，k=9. ***有兩種不同方案.
6． .
＝ .
7．1.
因為 ，
所以 ，解得 .
從而 ， .
於是 .
8．161.
根據圖中①、②、③的規律，可知圖④中三角形的個數為
1+4+3×4+ + =1+4+12+36+108=161（個）.
9． .
如圖，延長AD交地面於E，過D作DF⊥CE於F.
因為∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，
所以CF=DF= m， EF=DFtan60°= （m）.
因為 ，所以 （m）.
10.－4.
由於二次函數的圖象過點A（－1，4），點B（2，1），所以
解得
因為二次函數圖象與x軸有兩個不同的交點，所以 ，
，即 ，由於a是正整數，故 ，
所以 ≥2. 又因為b+c=－3a+2≤－4，且當a=2，b=－3，c=－1時，滿足題意，故b+c的最大值為－4.
三、解答題（***4題，每小題15分，滿分60分）
11．如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC平行於弦AD，過點D作DE⊥AB於點E，連結AC，與DE交於點P. 問EP與PD是否相等？證明妳的結論.
解：DP=PE. 證明如下：
因為AB是⊙O的直徑，BC是切線，
所以AB⊥BC.
由Rt△AEP∽Rt△ABC，得 ① ……（6分）
又AD‖OC，所以∠DAE=∠COB，於是Rt△AED∽Rt△OBC.
故 ② ……（12分）
由①，②得 ED=2EP.
所以 DP=PE. ……（15分）
12．某人租用壹輛汽車由A城前往B城，沿途可能經過的城市以及
通過兩城市之間所需的時間（單位：小時）如圖所示. 若汽車行駛
的平均速度為80千米/小時，而汽車每行駛1千米需要的平均費用
為1.2元. 試指出此人從A城出發到B城的最短路線（要有推理過
程），並求出所需費用最少為多少元？
解：從A城出發到達B城的路線分成如下兩類：
（1）從A城出發到達B城，經過O城. 因為從A城到O
城所需最短時間為26小時，從O城到B城所需最短時間
為22小時. 所以，此類路線所需 最短時間為26+22=48（小時）. ……（5分）
（2）從A城出發到達B城，不經過O城. 這時從A城到達B城，必定經過C，D，E城或F，G，H城，所需時間至少為49小時. ……（10分）
綜上，從A城到達B城所需的最短時間為48 小時，所走的路線為：
A→F→O→E→B. ……（12分）
所需的費用最少為：
80×48×1.2=4608（元）…（14分）
答：此人從A城到B城最短路線是A→F→O→E→B，所需的費用最少為4608元…（15分）
13B．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
（1）當點D在斜邊AB內部時，求證： .
（2）當點D與點A重合時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.
（3）當點D在BA的延長線上時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.
解：（1）作DE⊥BC，垂足為E. 由勾股定理得
所以 .
因為DE‖AC，所以 .
故 . ……（10分）
（2）當點D與點A重合時，第（1）小題中的等式仍然成立。此時有AD=0，CD=AC，BD=AB.
所以 ， .
從而第（1）小題中的等式成立.……（13分）
（3）當點D在BA的延長線上時，第（1）小題中的等式不成立.
作DE⊥BC，交BC的延長線於點E，則
而 ,
所以 .……（15分）
〖說明〗第（3）小題只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清者不扣分）.
14B．已知實數a，b，c滿足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求 的最小值.
解：（1）不妨設a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由題設知a>0，
且b+c=2-a， .
於是b，c是壹元二次方程 的兩實根， ≥0，
≥0， ≥0. 所以a≥4. ……（8分）
又當a=4，b=c=-1時，滿足題意.
故a，b，c中最大者的最小值為4. ……（10分）
（2）因為abc>0，所以a，b，c為全大於0或壹正二負.
1） 若a，b，c均大於0，則由（1）知，a，b，c中的最大者不小於4，這與a+b+c=2矛盾.
2）若a，b，c為或壹正二負，設a>0，b<0，c<0，則
，
由（1）知a≥4，故2a-2≥6，當a=4，b=c=-1時，滿足題設條件且使得不等式等號成立。故 的最小值為6. ……（15分）
13A．如圖所示，⊙O的直徑的長是關於x的二次方程 （k是整數）的最大整數根. P是⊙O外壹點，過點P作⊙O的切線PA和割線PBC，其中A為切點，點B，C是直線PBC與⊙O的交點. 若PA，PB，PC的長都是正整數，且PB的長不是合數，求 的值.
解：設方程 的兩個根為 ， ， ≤ .由根與系數的關系得
---- ①， ---- ②
由題設及①知， ， 都是整數. 從①，②消去k，得 ，
.
由上式知， ，且當k=0時， ，故最大的整數根為4.
於是⊙O的直徑為4，所以BC≤4.
因為BC=PC－PB為正整數，所以BC=1，2，3或4. ……（6分）
連結AB，AC，因為∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，
故 ③ ……（10分）
（1）當BC=1時，由③得， ，於是 ，矛盾！
（2）當BC=2時，由③得， ，於是 ，矛盾！
（3）當BC=3時，由③得， ，於是 ，
由於PB不是合數，結合 ，故只可能
， ，
解得 .
此時 .
（4）當BC=4，由③得， ，於是 ，矛盾.
綜上所述 .……（15分）
14A．沿著圓周放著壹些數，如果有依次相連的4個數a，b，c，d滿足不等式 >0，那麽就可以交換b，c的位置，這稱為壹次操作.
（1）若圓周上依次放著數1，2，3，4，5，6，問：是否能經過有限次操作後，對圓周上任意依次相連的4個數a，b，c，d，都有 ≤0？請說明理由.
（2）若圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數1，2，…，2003，問：是否能經過有限次操作後，對圓周上任意依次相連的4個數a，b，c，d，都有 ≤0？請說明理由.
解：（1）答案是肯定的. 具體操作如下：
……（5分）
（2）答案是肯定的. 考慮這2003個數的相鄰兩數乘積之和為P. ……（7分）
開始時， =1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，經過k（k≥0）次操作後，這2003個數的相鄰兩數乘積之和為 ，此時若圓周上依次相連的4個數a，b，c，d滿足不等式 >0，即ab+cd>ac+bd，交換b，c的位置後，這2003個數的相鄰兩數乘積之和為 ，有 .
所以 ，即每壹次操作，相鄰兩數乘積的和至少減少1，由於相鄰兩數乘積總大於0，故經過有限次操作後，對任意依次相連的4個數a，b，c，d，壹定有 ≤0.……（15分）.