淺談“判別式法”求函數值域|用判別式法求函數值域

形如y=■(a1、a2不同時為0，x∈D)的函數，其值域的求解可利用“判別式法”。即將原函數轉化為關於x的方程(a2y-a1)x2+(b2y-b1)x+c2y-c1=0，根據原函數在x∈D內有意義等價於方程在x∈D內有實根的原則，求出y的取值範圍：（1）若a2y-a1=0時，方程在x∈D內有實根，則y=■；（2）若a2y-a1≠0時，方程在x∈D有實根，則利用判別式，結合方程根的情況求出y。

例1：求函數y=■的值域。

解：原函數變形為關於x的方程得(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0。∵原函數定域為R。∴上述方程在x∈R內有實根。

（1）當y-2=0時,方程化為13=0在x∈R內無實根,不合題意，故y≠2；

（2）當y-2≠0時, 上述方程為壹元二次方程, 要使該方程在x∈R內有實根, 必須滿足?駐=4(y-2)2-4(y-2)（3y+7)≥0，解得－■≤y≤2。

綜合(1)(2)，得原函數的值域為[－■,2)。

例2：求函數y=■的值域。

解：原函數變形為關於x的方程得：(y-2)x2+x-y-7=0。又原函數的定義域為(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)。 所以上述方程在（-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)上有實根。

（1）若y-2=0，方程化為x-3=0，其在上述區間內有實根，此時y=2；

（2）若y-2≠0，方程為壹元二次方程，要使其在上述區間內有實根只須?駐=1+4(y-2)(y+1)≥0，y-2+1-y-1≠0，-2-1-y-1≠0，解得y≤■或y≥■。

綜合(1)(2)，得原函數值域為(-∞,■ ]∪[■,+∞)。

例3：已知x＞■，求函數f(x)=■的值域。

解：原函數變形為關於x的壹元二次方程得x2-(2y+4)x+5+4y=0。∵原函數定義域為（■,+∞），∴上述方程在（■,+∞）上有根，則?駐≥0，（x1-■)(x2-■)≥0，x1+x2＞5，或?駐≥0，（x1-■)(x2-■) 本文為全文原貌 未安裝PDF瀏覽器用戶請先下載安裝 原版全文