關於三角形的面積計算公式在解題中主要應用的有：
設△abc中，a、b、c分別為角a、b、c的對邊，ha為a邊上的高，r、r分別為△abc外接圓、內切圓的半徑，p
=
(a
b
c),則
s△abc
=
aha=
ab×sinc
=
r
p
=
2r2sinasinbsinc
=
=
其中，s△abc
=
就是著名的海倫公式，在希臘數學家海倫的著作《測地術》中有記載。
海倫公式在解題中有十分重要的應用。
壹、
海倫公式的變形
s=
=
①
=
②
=
③
=
④
=
⑤
二、
海倫公式的證明
證壹
勾股定理
分析：先從三角形最基本的計算公式s△abc
=
aha入手，運用勾股定理推導出海倫公式。
證明：如圖ha⊥bc，根據勾股定理，得:
x
=
y
=
ha
=
=
=
∴
s△abc
=
aha=
a×
=
此時s△abc為變形④，故得證。
證二：斯氏定理
分析：在證壹的基礎上運用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△abc邊bc上任取壹點d，
若bd=u，dc=v,ad=t.則
t
2
=
證明：由證壹可知，u
=
v
=
∴
ha
2
=
t
2
=
－
∴
s△abc
=
aha
=
a
×
=
此時為s△abc的變形⑤，故得證。
證三：余弦定理
分析：由變形②
s
=
可知，運用余弦定理
c2
=
a2
b2
－2abcosc
對其進行證明。
證明：要證明s
=
則要證s
=
=
=
ab×sinc
此時s
=
ab×sinc為三角形計算公式，故得證。
證四：恒等式
分析：考慮運用s△abc
=r
p，因為有三角形內接圓半徑出現，可考慮應用三角函數的恒等式。
恒等式：若∠a
∠b
∠c
=180○那麽
tg
·
tg
tg
·
tg
tg
·
tg
=
1
證明：如圖，tg
=
①
tg
=
②
tg
=
③
根據恒等式，得：
=
①②③代入，得：
∴r2(x
y
z)
=
xyz
④
如圖可知：a＋b－c
=
(x
z)＋(x
y)－(z
y)
=
2x
∴x
=
同理：y
=
z
=
代入
④，得：
r
2
·
=
兩邊同乘以
，得：
r
2
·
=
兩邊開方，得：
r
·
=
左邊r
·
=
r·p=
s△abc
右邊為海倫公式變形①，故得證。
證五：半角定理
半角定理：tg
=
tg
=
tg
=
證明：根據tg
=
=
∴r
=
×
y
①
同理r
=
×
z
②
r
=
×
x
③
①×②×③,得：
r3
=
×xyz
∵由證壹，x
=
=
－c
=
p－c
y
=
=
－a
=
p－a
z
=
=
－b
=
p－b
∴
r3
=
∴
r
=
∴s△abc
=
r·p
=
故得證。
三、
海倫公式的推廣
由於在實際應用中，往往需計算四邊形的面積，所以需要對海倫公式進行推廣。由於三角形內接於圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內接與圓的四邊形abcd中，設p=
,則s四邊形=
現根據猜想進行證明。
證明：如圖，延長da，cb交於點e。
設ea
=
e
eb
=
f
∵∠1
∠2
=180○
∠2
∠3
=180○
∴∠1
=∠3
∴△eab～△ecd
∴
=
=
=
解得：
e
=
①
f
=
②
由於s四邊形abcd
=
s△eab
將①，②跟b
=
代入公式變形④，得：
∴s四邊形abcd
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
所以，海倫公式的推廣得證。
四、
海倫公式的推廣的應用
海倫公式的推廣在實際解題中有著廣泛的應用，特別是在有關圓內接四邊形的各種綜合題中，直接運用海倫公式的推廣往往事半功倍。
例題：如圖，四邊形abcd內接於圓o中，sabcd
=
,ad
=
1,ab
=
1,
cd
=
2.
求：四邊形可能為等腰梯形。
解：設bc
=
x
由海倫公式的推廣，得：
=
(4－x)(2＋x)2
=27
x4－12x2－16x＋27
=
0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)
=
0
(x－1)(x3＋x2－11x－27)
=
0
x
=
1或x3＋x2－11x－27
=
0
當x
=
1時，ad
=
bc
=
1
∴
四邊形可能為等腰梯形。