倒立擺系統（Inverted Pendulum System, IPS）是壹個典型的 復雜、不穩定、非線性、多輸入多輸出（MIMO）系統 ，是進行控制理論研究的理想實驗平臺。
對倒立擺系統的研究能有效地反映控制中的許多基本問題：如非線性問題、魯棒性問題、穩定化系統的鎮定問題、隨動問題以及跟蹤問題。
通過對倒立擺系統的控制可以檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩定性問題的能力。同時倒立擺模型在軍工、航空航天、機器人領域都有廣泛應用，如火箭發射時的垂直控制，導彈飛行中的姿態控制等，足式機器人（humanoid）行走平衡控制。
壹階倒立擺系統的控制問題就是通過計算給定直流電機電流大小，即小車運動所需力的大小（控制作用）使擺桿偏角和小車位置（系統輸出）能夠盡快達到壹個平衡點（註意這裏有多個控制目標），並使之沒有大的振蕩和超調。進壹步，當系統達到穩定後能克服各種隨機擾動（例如人為撥動擺桿使之突然偏離平衡點）而仍能保持穩定運行。
分別對小車和擺桿進行受力分析，建立動力學方程。註意，這裏的建模我們忽略空氣流動阻力和其他次要摩擦力作用。
小車水平方向的運動：
為擺桿對小車的作用力， 為可控的對小車的外部輸入， 是小車位置也是系統的壹個輸出。
對擺桿的動力學建模分解為水平方向，垂直方向及擺桿的轉動。
水平方向受力分析：
註：這裏的 和 都是關於時間 的函數，是動態變量。特別的， 也是系統的壹個輸出。
垂直方向受力分析：
擺桿繞其重心的 力矩平衡方程：
為擺桿轉動慣量。
到目前為止倒立擺系統建模已經完成，我們可以清楚的看到倒立擺系統是壹個復雜的、關於狀態變量非線性的、多變量耦合的、多輸出系統。
需要註意的是，我們期望擺桿的運動屬於小傾角運動，因此我們可以在期望位置（平衡點）對系統作線性化處理從而簡化模型： 。此外， ，則有 。代入簡化，得：
聯立以上幾式，且有 ，我們可得：
到目前為止，倒立擺動態模型簡化完畢，我們可以運用古典控制理論或現代控制理論對系統進行分析和設計，分別建立傳遞函數模型或狀態空間模型。
基於傳遞函數模型的古典控制理論，更適合於單輸入單輸出（SISO）系統的分析和設計，由於倒立擺系統有兩個控制目標，因此我們選擇基於狀態空間模型的現代控制理論分析方法。當然，要是不嫌麻煩完全可以建立兩個輸入輸出傳遞函數進行分析。
我們取 ，代入：
， ， ，
建立了狀態空間模型，接下來就是系統分析和控制器設計了，等下回再更。