設x=tany
tany'=sex^y
arctanx'=1/(tany)'=1/sec^y
sec^y=1+tan^y=1+x^2
所以(arctanx)'=1/(1+x^2)
對於雙曲函數shx,chx,thx等以及反雙曲函數arshx,archx,arthx等和其他較復雜的復合函數求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與 4.y=u土v,y'=u'土v' 5.y=uv,y=u'v+uv' 均能較快捷地求得結果。
擴展資料：
在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到：
⒈(鏈式法則)y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x）『f'[g(x)]中g(x）看作整個變量，而g'(x）中把x看作變量』
2. y=u*v,y'=u'v+uv'(壹般的leibniz公式)
3.y=u/v,y'=（u'v-uv'）/v^2，事實上4.可由3.直接推得
4.（反函數求導法則）y=f(x）的反函數是x=g(y），則有y'=1/x'
正切函數y=tanx在開區間（x∈(-π/2,π/2)）的反函數，記作y=arctanx 或 y=tan-1x，叫做反正切函數。它表示(-π/2,π/2)上正切值等於 x 的那個唯壹確定的角，即tan(arctan x)=x，反正切函數的定義域為R即(-∞，+∞)。反正切函數是反三角函數的壹種。
由於正切函數y=tanx在定義域R上不具有壹壹對應的關系，所以不存在反函數。註意這裏選取是正切函數的壹個單調區間。而由於正切函數在開區間(-π/2,π/2)中是單調連續的，因此，反正切函數是存在且唯壹確定的。
引進多值函數概念後，就可以在正切函數的整個定義域(x∈R，且x≠kπ+π/2，k∈Z)上來考慮它的反函數，這時的反正切函數是多值的，記為 y=Arctan x，定義域是(-∞，+∞)，值域是 y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z。於是，把 y=arctan x (x∈(-∞，+∞)，y∈(-π/2,π/2))稱為反正切函數的主值，而把 y=Arctan x=kπ+arctan x (x∈R，y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z)稱為反正切函數的通值。反正切函數在(-∞，+∞)上的圖像可由區間(-π/2,π/2)上的正切曲線作關於直線 y=x 的對稱變換而得到。
反正切函數的大致圖像如圖所示，顯然與函數y=tanx,（x∈R）關於直線y=x對稱，且漸近線為y=π/2和y=-π/2。