圓周角定理：壹條弧所對圓周角等於它所對圓心角的壹半
證明：
已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對弧BC，求證：∠BOC=2∠BAC.
證明：
情況1：
如圖1，當圓心O在∠BAC的壹邊上時，即A、O、B在同壹直線上時：
圖1
∵OA、OC是半徑
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等邊對等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情況2：
如圖2,，當圓心O在∠BAC的內部時：
連接AO，並延長AO交⊙O於D
圖2
∵OA、OB、OC是半徑
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對等角）
∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情況3：
如圖3，當圓心O在∠BAC的外部時：
圖3
連接AO，並延長AO交⊙O於D連接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半徑
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等邊對等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
從而得證：∠BOC=2∠BAC.