秦王暗點兵

我國漢代有壹位大將，名叫韓信。他每次集合部隊，都要求部下報三次數，第壹次按1～3報數，第二次按1～5報數，第三次按1～7報數，每次報數後都要求最後壹個人報告他報的數是幾，這樣韓信就知道壹***到了多少人。他的這種巧妙算法，人們稱為“鬼谷算”、 “隔墻算”、“秦王暗點兵”等。 這種問題在《孫子算經》中也有記載：“今有物不知其數：三三數之余二，五五數之余三，七七數之余二，問物幾何?” 它的意思就是，有壹些物品，如果3個3個的數，最後剩2個；如果5個5個的數，最後剩3個；如果7個7個的數，最後剩2個；求這些物品壹***有多少？這個問題人們通常把它叫作“孫子問題”， 西方數學家把它稱為“中國剩余定理”。到現在，這個問題已成為世界數學史上聞名的問題。 到了明代，數學家程大位把這個問題的算法編成了四句歌訣： 三人同行七十稀，五樹梅花廿壹枝； 七子團圓正半月，除百零五便得知。 用現在的話來說就是：壹個數用3除，除得的余數乘70；用5除，除得的余數乘21；用7除，除得的余數乘15。最後把這些乘積加起來再減去105的倍數，就知道這個數是多少。 《孫子算經》中這個問題的算法是： 70×2＋21×3＋15×2＝233 233－105－105＝23 所以這些物品最少有23個。 根據上面的算法，韓信點兵時，必須先知道部隊的大約人數，否則他也是無法準確算出人數的。妳知道這是怎麽回事嗎？ 這是因為， 被5、7整除，而被3除余1的最小正整數是70。 被3、7整除，而被5除余1的最小正整數是21； 被3、5整除，而被7除余1的最小正整數是15； 所以，這三個數的和15×2＋21×3＋70×2，必然具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性質。 以上解法的道理在於： 被3、5整除，而被7除余1的最小正整數是15； 被3、7整除，而被5除余1的最小正整數是21； 被5、7整除，而被3除余1的最小正整數是70。 因此，被3、5整除，而被7除余2的最小正整數是 15×2＝30； 被3、7整除，而被5除余3的最小正整數是 21×3＝63； 被5、7整除，而被3除余2的最小正整數是 70×2＝140。 於是和數15×2＋21×3＋70×2，必具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性質。但所得結果233（30＋63＋140＝233）不壹定是滿足上述性質的最小正整數，故從它中減去3、5、7的最小公倍數105的若幹倍，直至差小於105為止，即 233－1o5－105＝23。所以23就是被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整數。 我國古算書中給出的上述四句歌訣，實際上是特殊情況下給出了壹次同余式組解的定理。在1247年，秦九韶著《數書九章》，首創“大衍求壹術”，給出了壹次同余式組的壹般求解方法。在歐洲，直到18世紀，歐拉、拉格朗日（lagrange，1736～1813，法國數學家）等，都曾對壹次同余式問題進行過研究；德國數學家高斯，在1801年出版的《算術探究》中，才明確地寫出了壹次同余式組的求解定理。當《孫子算經》中的“物不知數”問題解法於1852年經英國傳教士偉烈亞力（wylie alexander，1815～1887）傳到歐洲後，1874年德國人馬提生（matthiessen，1830～1906）指出孫子的解法符合高斯的求解定理。從而在西方數學著作中就將壹次同余式組的求解定理稱譽為“中國剩余定理”。