壹、內容和內容解析
本節內容選自課標實驗教材人教A版，是導數的起始課，主要內容有變化率問題和導數的概念。
導數是微積分中的核心概念，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應用。在本章的學習中，學生將學習導數的有關知識，體會其中蘊含的思想方法，感受其在解決實際問題中的作用，了解微積分的文化價值。
大綱教材中導數概念學習的起點是極限，這種建立概念的方式具有嚴密的邏輯性和系統性，但學生很難理解極限的形式化定義，因此也影響了對導數本質理解。
課標教材則不介紹極限的形式化定義及相關知識，而是通過列表計算、直觀地把握函數變化趨勢(蘊涵著極限的描述性定義)，這種直觀形象的方法中蘊含了逼近的思想，這樣定義導數的優點是：
1.使學生將更多精力放在導數本質的理解上;
2.學生對逼近思想有了豐富的直觀基礎和壹定的理解，有利於在大學的初級階段學習嚴格的極限定義.
基於上述分析，本節課的教學重點是：豐富學生的感性經驗，運用逼近的思想方法引導學生探索理解導數的思想及內涵。
二、目標和目標解析
1.通過分析實例，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵;
2.通過動手計算培養學生觀察、分析、比較和抽象概括的能力，體會逼近的思想方法; 3.經歷從生活中的變化率問題抽象概括出平均變化率的過程，體會數學知識來源於生活，又服務於生活。通過概念的形成過程體會從特殊到壹般的數學思想方法。
三、教學問題診斷分析
1.吹氣球是很多人具有的生活經驗，運動速度是學生非常熟悉的物理知識，但是如何從具體實例中抽象出***同的數學問題的本質是本節課教學的關鍵之壹。對於吹氣球問題要用函數的觀點分析變化過程中的自變量和函數值，自然地引導學生建立半徑r關於體積V的函數關系式;在吹氣過程中要註意觀察或者想象，並把實際操作轉化為相應的數學語言，比如當吹入差不多大小相同的壹口氣時，是指氣球的體積的增量相同等。
2.對於利用平均速度解決瞬時速度的問題還是第壹次，很難做到壹次到位，因此，?從平均變化率向瞬時變化率的過渡?是本節課的壹個難點;同時，這個問題所涉及到的?逼近?思想，學生雖然在數學1?二分法?的學習中已經有所接觸，但是沒有經過反復練習，運用起來還是有壹定難度，所以，?逼近?思想的滲透、?逼近?方法的應用將是本節課的壹個難點。
基於上述分析本節課的教學難點是：幫助學生理解氣球平均變化率問題和?逼近?的思想方法的應用。
四、教學支持條件分析
在教學中適時地使用信息技術，充分發揮信息技術的優勢，幫助學生更好地理解概念 1.通過將計算結果實物投影，讓學生積極主動地參與到課堂中來，使學生保持高水平的思維活動;
2.通過幾何畫板演示，使學生對概念的理解更直觀，生動。
五、教學過程設計
1.創設情境、引入新課
教師介紹：微積分的創立是數學發展的裏程碑，它的發展和廣泛應用開創了向近代數學過渡的新時期，為研究變量和函數提供了重要方法和手段。在本章中，學生將通過大量的實例，經歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現實問題的過程，那麽，我們先來研究變化率的問題，引出新課。
設計意圖：充分挖掘章引言的教學價值，它說明了三方面的問題：首先，簡明的指出了函數和微積分的關系;其次，概述了微積分的創立史及它的地位;第三，概述本章的學習內容。
2.實例探索，引出概念
問題1：大家可能有過吹氣球的經驗。在吹氣球的過程中，可以發現，隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來越慢。這個過程中的自變量和函數值分別是誰?試建立它們之間的函數關系，從數學角度如何描述上述變化過程呢?
設計意圖：通過分析生活實例，提煉數學模型，為歸納函數平均變化率概念提供具體背景。
師生活動：回憶吹氣球的過程(或者讓學生現場吹氣球)，建立半徑r關於體積V的函
數關系：r(V)?
r(V2)?r(V1)
。通過觀察和計算，用數據解釋上述現象，並通過幾何畫板演示，更逼真的
V2?V1
感受上述現象。圖1直觀地演示了當球的體積增大(黑色部分面積變大，綠色越來越薄)時，半徑增大越來越小。圖2演示當A，B兩點向右運動時，自變量的增量保持不變，但是平均變化率越來越小。
圖1
問題2 怎樣才能更準確的描述運動員的運動狀態呢?
設計意圖：分析實例，抽象數學模型，為歸納函數平均變化率概念提供又壹重要背景，並使學生初步感受平均變化率的不足，激發進壹步探求新知的欲望。
師生活動：
問題2
中的平均變化率計算公式v?
h(t2)?h(t1)
t2?t1
並借助於幾何畫給予直觀解釋。
3.分析歸納，得到概念
問題3 對比問題1和問題2中的平均變化率計算關系式，他們有什麽***同特點?對於壹般函數f(x),如何計算其平均變化率?
設計意圖：讓學生結合兩個實例，對比、分析，抽象概括出壹般形式，經歷由特殊到壹般的數學過程。
師生活動：學生討論，分析，歸納根據前面的實例，得到結論：
f(x2)?f(x1)稱為函數f(x)從x1到x2的平均變化定義：壹般地,函數y=f(x)中，式子21f(x2)?f(x1)?y率，則 ?
x2?x1?x
其中△x 、△ y 的值可正、可負，但△x值不能為0， △ y 的值可以為0。
x?x
若函數f(x)為常函數時， △ y =0。 變式：
f(x)?f(x)f(x x)?f(x)
?
x?x? x
2
1
1
1
2
1
。
21
?問題4 觀察函數f(x)的平均變化率，結合直線的斜率分析平均
f(x)?f(x)
x2?x1
?y?x
變化率的幾何意義是什麽?
圖4
設計意圖：從幾何角度得到平均變化率的幾何意義，體現數形結合的思想。
r(v0v)?r(v0)。 ?v?0?vlim
問題8 對於壹般函數f(x)在x?x0處的瞬時變化率如何表示呢?
設計意圖：引導學生舍棄具體問題的實際意義，抽象得出函數在某點處的瞬時變化率，即導數，幫助學生實現認識上的飛躍。
師生活動：在前面兩個問題的基礎上提出導數的概念：
壹般地，函數f(x)在x?x0處的瞬時變化率是：
lim
y?|f?(x0)?lim稱為函數 y = f (x) 在 x = x0 處的導數, 記作 f?(x0)或 x ?x ，即：?x?00?x?0f(xx)?f(x) ?y?lim? x? x00 ?x?0 f(x0x)?f(x0) .? x
5.自主歸納，提升認識
問題9：通過本節課的學習妳有哪些收獲?
設計意圖：通過小結幫助學生自行構建知識體系，理清知識脈絡，更好地理解本節課的知識和思想方法。
師生活動：在學生自主小結的基礎上揭示函數思想、逼近思想方法，概念形成過程中的抽象概括。
六、目標檢測設計
1.將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果
2?在第x h時候，原油溫度(單位：c)為f(x)?x?7x?15(0?x?8)。
(1)計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，並說明它的意義。
(2)計算第3h和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，並說明它的意義。
2.已知壹個物體運動的位移(m)與時間t(s)滿足關系S(t)=-2t2+5t
(1)求物體第5秒和第6秒的瞬時速度。
(2)求物體在t時刻的瞬時速度。
(3)求物體t時刻運動的加速度，並判斷物體作什麽運動?
設計意圖：目的是讓學生學會用數學的眼光去看待物理模型，建立各學科之間的聯系，更深刻地把握事物變化的規律。
高中數學選修1-1《變化率與導數》教案二教學準備
1. 教學目標
(1)理解平均變化率的概念.
(2)了解瞬時速度、瞬時變化率、的概念.
(3)理解導數的概念
(4)會求函數在某點的導數或瞬時變化率.
2. 教學重點/難點
教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念及導數概念的形成和理解
教學難點：會求簡單函數y=f(x)在x=x0處的導數
3. 教學用具
多媒體、板書
4. 標簽
教學過程
壹、創設情景、引入課題
師十七世紀，在歐洲資本主義發展初期，由於工場的手工業向機器生產過渡，提高了生產力，促進了科學技術的快速發展，其中突出的成就就是數學研究中取得了豐碩的成果―――微積分的產生。
板演/PPT
師人們發現在高臺跳水運動中,運動員相對於水面的高度h(單位：米)與起跳後的時間t(單位：秒)存在函數關系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?
板演/PPT
讓學生自由發言，教師不急於下結論，而是繼續引導學生：欲知結論怎樣，讓我們壹起來觀察、研探。
設計意圖自然進入課題內容。
二、新知探究
[1]變化率問題
合作探究
探究1 氣球膨脹率
師很多人都吹過氣球，回憶壹下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢?
氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系是
如果將半徑r表示為體積V的函數,那麽
板演/PPT
活動
分析
當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為(1)當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為
0.62>0.16
可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.
思考當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?
解析：
探究2 高臺跳水
師在高臺跳水運動中,運動員相對於水面的高度h(單位：米)與起跳後的時間t(單位：秒)存在函數關系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?
(請計算)
板演/PPT
生學生舉手回答
活動學生覺得問題有價值，具有挑戰性，迫切想知道解決問題的方法。
師解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10
設計意圖兩個問題由易到難，讓學生壹步壹個臺階。為引入變化率的概念以及加深對變化率概念的理解服務。
探究3 計算運動員在
這段時間裏的平均速度,並思考下面的問題:
(1)運動員在這段時間裏是靜止的嗎?
(2)妳認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什麽問題嗎?
板演/PPT
生學生舉手回答
師在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映他在這段時間裏運動狀態.
活動師生***同歸納出結論
平均變化率:
上述兩個問題中的函數關系用y=f(x)表示，那麽問題中的變化率可用式子
我們把這個式子稱為函數y=f(x)從x1到x2的平均變化率.
習慣上用?x=x2-x1,?y=f(x2)-f(x1)
這裏?x看作是對於x1的壹個?增量?可用x1+?x代替x2
同樣?y=f(x2)-f(x1)，於是，平均變化率可以表示為：
幾何意義觀察函數f(x)的圖象，平均變化率的幾何意義是什麽?
探究2 當?t趨近於0時,平均速度有什麽變化趨勢?
從2s到(2+△t)s這段時間內平均速度
當△ t 趨近於0時, 即無論 t 從小於2的壹邊, 還是從大於2的壹邊趨近於2時, 平均速度都趨近與壹個確定的值 ?13.1.
從物理的角度看, 時間間隔 |△t |無限變小時, 平均速度就無限趨近於 t = 2時的瞬時速度. 因此, 運動員在 t = 2 時的瞬時速度是 ?13.1 m/s.
為了表述方便，我們用xx表示?當t =2, △t趨近於0時, 平均速度 趨近於確定值? 13.1?.
瞬時速度
我們用
表示 ?當t=2, ?t趨近於0時,平均速度趨於確定值-13.1?.
局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然後通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。那麽,運動員在某壹時刻 的瞬時速度?
設計意圖讓學生體會由平均速度到瞬時速度的逼近思想：△t越小，V越接近於t=2秒時的瞬時速度。
探究3:
(1).運動員在某壹時刻 t0 的瞬時速度怎樣表示?
(2).函數f(x)在 x = x0處的瞬時變化率怎樣表示?
導數的概念:
壹般地，函數 y = f (x)在 x = x0 處的瞬時變化率是
稱為函數 y = f(x) 在 x = x0 處的導數, 記作
或,
總結提升
由導數的定義可知, 求函數 y = f (x)的導數的壹般方法:
[3]例題講解
例題1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品, 需要對原油進行冷卻和加熱. 如果第 x h時, 原油的溫度(單位: )為 y=f (x) = x2?7x+15 ( 0?x?8 ) . 計算第2h與第6h時, 原油溫度的瞬時變化率, 並說明它們的意義.
解: 在第2h和第6h時, 原油溫度的瞬時變化率就是
在第2h和第6h時, 原油溫度的瞬時變化率分別為?3和5. 它說明在第2h附近, 原油溫度大約以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油溫度大約以5 /h的速率上升.
[4]本節課知識總結
1.函數的平均變化率
2.求函數的平均變化率的步驟:
(1)求函數的增量?y=f(x2)-f(x1)
(2)計算平均變化率
3、求物體運動的瞬時速度：
(1)求位移增量?s=s(t+?t)-s(t)
(2)求平均速度
(3)求極限
4、由導數的定義可得求導數的壹般步驟：
(1)求函數的增量?y=f(x0+?t)-f(x0
)
(2))平均變化率
(3)求極限
三、復習總結和作業布置
[1] 課堂練習
1.函數y=f(x)的自變量x由x0改變到x0+?x時，函數值的改變量?y為 ( ) A.f(x0+?x)B.f(x0)+?x
C.f(x0)x
D.f(x0+?x)-f(x0)
2.若壹質點按規律s=8+t2運動，則在時間段2～2.1中，平均速度是 ( ) A.4 B.4.1
C.0.41 D.-1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。
4.過曲線y=f(x)=x3上兩點P(1，1)和Q (1+?x,1+?y)作曲線的割線，求出當?x=0.1時割線的斜率.
課堂練習參考答案
1. D
解析：分別寫出x=x0和x=x0+?x對應的函數值f(x0)和f(x0+?x)，兩式相減，就得到了函數值的改變量?y=f(x0+?x)-f(x0)，故應選D.
2. B
解析：
3.解析：