f'<y>(0,0) = lim<y→0>(y^2sin(1/|y|)/y = 0;
則 f(x,y) = (x^2+y^2)sin[1/√(x^2+y^2)] (x,y)≠(0,0)
f(x,y) = 0 (x,y)=(0,0)
在 (0,0) 處可微。選D
2. 曲線切線的方向向量是 (1, -2t, 3t^2),
與平面 x+2y+z=4 平行，則 1*1-2t*2+3t^2*1 = 0,
即 3t^2-4t+1 = 0, 解得 t=1, t=1/3
故 切線有兩條。 選B.
3. 選A
二 1. z = x^2f(2x, y^2/x)
z'<x> = 2xf(2x, y^2/x)+x^2[2f'<1>-(y^2/x^2)f'<2>]
= 2xf(2x, y^2/x)+2x^2f'<1>-y^2f'<2>
z''<xy> = 2xf'<2>*2y/x+2x^2f''<12>2y/x-2yf'<2>-y^2f''<22>2y/x
= 2yf'<2>+4xyf''<12>-(2y^3/x) f''<22>
2. u=xyz, grad u = yzi+xzj+xyk, 在 點P(1,1,2) ，
grad u<P> = 2i+2j+k, 其模為 3，即方向導數最大值是 3.
三 1 e^(ty)=y-x, ty=ln(y-x), t=ln(y-x)/y
y^2+[ln(y-x)/y]^2-x^2=1, 兩邊對 x 求導，得
2yy'+2[ln(y-x)/y]{[(y(y'-1)/(y-x)-y'ln(y-x)]/y^2}-2x = 0
解得 y‘ = y[xy^2(y-x)+ln(y-x)]/{y^4(y-x)+yln(y-x)-(y-x)[ln(y-x)]^2}
2. z=x^2+y^2， z'<x>=2x, z'<y>=2y, 得唯壹駐點 (0,0), 在給定圓內
在圓邊界上，構造拉格朗日函數
F = x^2+y^2+K[(x-√2)^2+(y-√2)^2-9]
F'<x>=0 : 2x+2k(x-√2) = 0
F'<y>=0 : 2y+2k(y-√2) = 0
F'<k>=0 : (x-√2)^2+(y-√2)^2 = 9
聯立解得 (3/√2, 3/√2), (-1/√2, -1/√2),
z (0,0) = 0, z(3/√2, 3/√2) = 9, z(-1/√2, -1/√2) = 1
則 所求最大值是 9， 最小值是 0.