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必修5知識點總結
1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，為的外接圓的半徑，則有．
2、正弦定理的變形公式：①，，；
②，，；③；
④．
（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中壹邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和壹邊，求其余的量。）
⑤對於已知兩邊和其中壹邊所對的角的題型要註意解的情況。（壹解、兩解、無解三中情況）
如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數形結合思想
畫出圖：法壹：把a擾著C點旋轉，看所得軌跡以AD有無交點：
當無交點則B無解、
當有壹個交點則B有壹解、
當有兩個交點則B有兩個解。
法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：
當a<bsinA，則B無解
當bsinA<a≤b,則B有兩解
當a=bsinA或a>b時，B有壹解
註：當A為鈍角或是直角時以此類推既可。
3、三角形面積公式：．
4、余弦定理：在中，有，，
．
5、余弦定理的推論：，，．
(余弦定理主要解決的問題：1、已知兩邊和夾角，求其余的量。2、已知三邊求角)
6、如何判斷三角形的形狀：設、、是的角、、的對邊，則：①若，則；
②若，則；③若，則．
正余弦定理的綜合應用：如圖所示：隔河看兩目標A、B,
但不能到達，在岸邊選取相距千米的C、D兩點，
並測得∠ACB=75O,?∠BCD=45O,?∠ADC=30O,?
∠ADB=45O(A、B、C、D在同壹平面內)，求兩目標A、B之間的距離。
本題解答過程略
附：三角形的五個“心”；
重心：三角形三條中線交點.
外心：三角形三邊垂直平分線相交於壹點.
內心：三角形三內角的平分線相交於壹點.
垂心：三角形三邊上的高相交於壹點.
7、數列：按照壹定順序排列著的壹列數．
8、數列的項：數列中的每壹個數．
9、有窮數列：項數有限的數列．
10、無窮數列：項數無限的數列．
11、遞增數列：從第2項起，每壹項都不小於它的前壹項的數列（即：an+1>an）．
12、遞減數列：從第2項起，每壹項都不大於它的前壹項的數列（即：an+1<an）．
13、常數列：各項相等的數列（即：an+1=an）．
14、擺動數列：從第2項起，有些項大於它的前壹項，有些項小於它的前壹項的數列．
15、數列的通項公式：表示數列的第項與序號之間的關系的公式．
16、數列的遞推公式：表示任壹項與它的前壹項（或前幾項）間的關系的公式．
17、如果壹個數列從第2項起，每壹項與它的前壹項的差等於同壹個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差．符號表示:。註：看數列是不是等差數列有以下三種方法：
①?②2()?③(為常數
18、由三個數，，組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，則稱為與的等差中項．若，則稱為與的等差中項．
19、若等差數列的首項是，公差是，則．
20、通項公式的變形：①；②；③；
④；⑤．
21、若是等差數列，且（、、、），則；若是等差數列，且（、、），則．
22、等差數列的前項和的公式：①；②．③
23、等差數列的前項和的性質：①若項數為，則，且，．
②若項數為，則，且，（其中，）．
24、如果壹個數列從第項起，每壹項與它的前壹項的比等於同壹個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比．符號表示：（註：①等比數列中不會出現值為0的項；②同號位上的值同號）
註：看數列是不是等比數列有以下四種方法：
①②(，)
③(為非零常數).
④正數列{}成等比的充要條件是數列{}（）成等比數列.
25、在與中間插入壹個數，使，，成等比數列，則稱為與的等比中項．若，則稱為與的等比中項．（註：由不能得出，，成等比，由，，）
26、若等比數列的首項是，公比是，則．
27、通項公式的變形：①；②；③；④．
28、若是等比數列，且（、、、），則；若是等比數列，且（、、），則．
29、等比數列的前項和的公式：①．②
30、對任意的數列{}的前項和與通項的關系：
[註]：?①（可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）→若不為0，則是等差數列充分條件）.
②等差{}前n項和?→可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若為零，則是等差數列的充分條件；若不為零，則是等差數列的充分條件.?
③非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）
附：幾種常見的數列的思想方法：
⑴等差數列的前項和為，在時，有最大值.?如何確定使取最大值時的值，有兩種方法：
壹是求使，成立的值；二是由利用二次函數的性質求的值.
數列通項公式、求和公式與函數對應關系如下：
數列
通項公式
對應函數
等差數列
（時為壹次函數）
等比數列
（指數型函數）
數列
前n項和公式
對應函數
等差數列
（時為二次函數）
等比數列
（指數型函數）
我們用函數的觀點揭開了數列神秘的“面紗”，將數列的通項公式以及前n項和看成是關於n的函數，為我們解決數列有關問題提供了非常有益的啟示。
例題：1、等差數列中，，則.
分析：因為是等差數列，所以是關於n的壹次函數，
壹次函數圖像是壹條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點***線，
所以利用每兩點形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這裏利用等差數列通項公式與壹次函數的對應關系，並結合圖像，直觀、簡潔。
例題：2、等差數列中，，前n項和為，若，n為何值時最大？
分析：等差數列前n項和可以看成關於n的二次函數=，
是拋物線=上的離散點，根據題意，，
則因為欲求最大值，故其對應二次函數圖像開口向下，並且對稱軸為，即當時，最大。
例題：3遞增數列，對任意正整數n，恒成立，求
分析：構造壹次函數，由數列遞增得到：對於壹切恒成立，即恒成立，所以對壹切恒成立，設，則只需求出的最大值即可，顯然有最大值，所以的取值範圍是：。
構造二次函數，看成函數，它的定義域是，因為是遞增數列，即函數為遞增函數，單調增區間為,拋物線對稱軸，因為函數f(x)為離散函數，要函數單調遞增，就看動軸與已知區間的位置。從對應圖像上看，對稱軸在的左側
也可以（如圖），因為此時B點比A點高。於是，，得
⑵如果數列可以看作是壹個等差數列與壹個等比數列的對應項乘積，求此數列前項和可依照等比數列前項和的推倒導方法：錯位相減求和.?例如：
⑶兩個等差數列的相同項亦組成壹個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第壹個相同項，公差是兩個數列公差的最小公倍數.
2.?判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法:對於n≥2的任意自然數,驗證為同壹常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證都成立。
3.?在等差數列｛｝中,有關Sn?的最值問題：(1)當>0,d<0時，滿足的項數m使得取最大值.?(2)當<0,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時,註意轉化思想的應用。
附：數列求和的常用方法
1.?公式法:適用於等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。
2.裂項相消法:適用於其中{?}是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等。
例題：已知數列{an}的通項為an=,求這個數列的前n項和Sn.
解：觀察後發現：an=
∴
3.錯位相減法:適用於其中{?}是等差數列，是各項不為0的等比數列。
例題：已知數列{an}的通項公式為，求這個數列的前n項之和。
解：由題設得：
=
即
=?①
把①式兩邊同乘2後得
=?②
用①-②，即：
=?①
=?②
得
∴
4.倒序相加法:?類似於等差數列前n項和公式的推導方法.
5.常用結論
1）:?1+2+3+...+n?=?2）?1+3+5+...+(2n-1)?=3）?
4）?5）
6）?
31、；；．
32、不等式的性質：?①；②；③；
④，；⑤；
⑥；⑦；
⑧．
33、壹元二次不等式：只含有壹個未知數，並且未知數的最高次數是的不等式．
34、含絕對值不等式、壹元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零點分段法）
求解不等式：
解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，並將各因式x的系數化“+”；(為了統壹方便)?
②求根，並將根按從小到大的在數軸上從左到右的表示出來；
③由右上方穿線（即從右向左、從上往下：偶次根穿而不過，奇次根壹穿而過），經過數軸上表示各根的點（為什麽？）；
④若不等式（x的系數化“+”後）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區間.
（自右向左正負相間）
例題：求不等式的解集。
解：將原不等式因式分解為：
由方程：解得
將這三個根按從小到大順序在數軸上標出來，如圖由圖可看出不等式的解集為：
例題：求解不等式的解集。
解：略
壹元二次不等式的求解：
特例①?壹元壹次不等式ax>b解的討論；
②壹元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)解的討論.
二次函數
（）的圖象
壹元二次方程
有兩相異實根
有兩相等實根
無實根
R
對於a<0的不等式可以先把a化為正後用上表來做即可。
2.分式不等式的解法
（1）標準化：移項通分化為>0(或<0)；?≥0(或≤0)的形式，
（2）轉化為整式不等式（組）
例題：求解不等式：
解：略
例題：求不等式的解集。
3.含絕對值不等式的解法：
基本形式：
①型如：|x|＜a(a＞0)?的不等式?的解集為：
②型如：|x|＞a(a＞0)?的不等式?的解集為：
變型：
解得。其中-c<ax+b<c等價於不等式組在解-c<ax+b<c得註意a的符號
型的不等式的解法可以由來解。
③對於含有兩個或兩個以上的絕對值的不等式：用“零點分區間法”分類討論來解.
④絕對值不等式解法中常用幾何法：即根據絕對值的幾何意義用數形結合思想方法解題.
例題：求解不等式
解：略
例題：求解不等式：
解：零點分類討論法：
分別令 解得： 在數軸上，-3和2就把數軸分成了三部分，如右上圖 ①當時，（去絕對值符號）原不等式化為：②當時，（去絕對值符號）原不等式化為：
③當時，（去絕對值符號）原不等式化為：
由①②③得原不等式的解集為：（註：是把①②③的解集並在壹起）
函數圖像法：
令
則有：
在直角坐標系中作出此分段函數及的圖像如圖
由圖像可知原不等式的解集為：
4.壹元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函數圖像來分析：
設ax2+bx+c=0的兩根為，f(x)=ax2+bx+c,那麽：
①若兩根都大於0，即，則有
②若兩根都小於0，即，則有
③若兩根有壹根小於0壹根大於0，即，則有
④若兩根在兩實數m,n之間，即，
則有
⑤若兩個根在三個實數之間，即，
則有
常由根的分布情況來求解出現在a、b、c位置上的參數
例如：若方程有兩個正實數根，求的取值範圍。
解：由①型得
所以方程有兩個正實數根時，。
又如：方程的壹根大於1，另壹根小於1，求的範圍。
解：因為有兩個不同的根，所以由
35、二元壹次不等式：含有兩個未知數，並且未知數的次數是的不等式．
36、二元壹次不等式組：由幾個二元壹次不等式組成的不等式組．
37、二元壹次不等式（組）的解集：滿足二元壹次不等式組的和的取值構成有序數對，所有這樣的有序數對構成的集合．
38、在平面直角坐標系中，已知直線，坐標平面內的點．
①若，，則點在直線的上方．
②若，，則點在直線的下方．
39、在平面直角坐標系中，已知直線．
（壹）由B確定：
①若，則表示直線上方的區域；表示直線下方的區域．
②若，則表示直線下方的區域；表示直線上方的區域．
（二）由A的符號來確定：
先把x的系數A化為正後，看不等號方向：
①若是“>”號，則所表示的區域為直線l:?的右邊部分。
②若是“<”號，則所表示的區域為直線l:?的左邊部分。
（三）確定不等式組所表示區域的步驟：
①畫線：畫出不等式所對應的方程所表示的直線
②定測：由上面（壹）（二）來確定
③求交：取出滿足各個不等式所表示的區域的公***部分。
例題：畫出不等式組所表示的平面區域。
解：略
40、線性約束條件：由，的不等式（或方程）組成的不等式組，是，的線性約束條件．
目標函數：欲達到最大值或最小值所涉及的變量，的解析式．
線性目標函數：目標函數為，的壹次解析式．
線性規劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．
可行解：滿足線性約束條件的解．
可行域：所有可行解組成的集合．
最優解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解．
41、設、是兩個正數，則稱為正數、的算術平均數，稱為正數、的幾何平均數．
42、均值不等式定理：?若，，則，即．
43、常用的基本不等式：①；②；③；
④．
44、極值定理：設、都為正數，則有：
⑴若（和為定值），則當時，積取得最大值．⑵若（積為定值），則當時，和取得最小值．
例題：已知，求函數的最大值。
解：∵，∴
由原式可以化為：
當，即時取到“=”號
也就是說當時有
額。。。txt粘貼少了圖像，算了直接截圖-_-|||