1. 元素與集合的關系
, .
2.德摩根公式
.
3.包含關系
4.容斥原理
.
5．集合 的子集個數***有 個；真子集有 –1個；非空子集有 –1個；非空的真子集有 –2個.
6.二次函數的解析式的三種形式
(1)壹般式 ;
(2)頂點式 ;
(3)零點式 .
7.解連不等式 常有以下轉化形式
.
8.方程 在 上有且只有壹個實根,與 不等價,前者是後者的壹個必要而不是充分條件.特別地, 方程 有且只有壹個實根在 內,等價於 ,或 且 ,或 且 .
9.閉區間上的二次函數的最值
二次函數 在閉區間 上的最值只能在 處及區間的兩端點處取得，具體如下：
(1)當a>0時，若 ，則 ；
， ， .
(2)當a<0時，若 ，則 ，若 ，則 ， .
10.壹元二次方程的實根分布
依據：若 ，則方程 在區間 內至少有壹個實根 .
設 ，則
（1）方程 在區間 內有根的充要條件為 或 ；
（2）方程 在區間 內有根的充要條件為 或 或 或 ；
（3）方程 在區間 內有根的充要條件為 或 .
11.定區間上含參數的二次不等式恒成立的條件依據
(1)在給定區間 的子區間 （形如 ， ， 不同）上含參數的二次不等式 ( 為參數)恒成立的充要條件是 .
(2)在給定區間 的子區間上含參數的二次不等式 ( 為參數)恒成立的充要條件是 .
(3) 恒成立的充要條件是 或 .
12.真值表
p q 非p p或q p且q
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
13.常見結論的否定形式
原結論 反設詞 原結論 反設詞
是 不是 至少有壹個 壹個也沒有
都是 不都是 至多有壹個 至少有兩個
大於 不大於 至少有 個
至多有（ ）個
小於 不小於 至多有 個
至少有（ ）個
對所有 ，
成立 存在某 ，
不成立
或
且
對任何 ，
不成立 存在某 ，
成立
且
或
14.四種命題的相互關系
原命題 互逆 逆命題
若p則q 若q則p
互 互
互 為 為 互
否 否
逆 逆
否 否
否命題 逆否命題
若非p則非q 互逆 若非q則非p
15.充要條件
（1）充分條件：若 ，則 是 充分條件.
（2）必要條件：若 ，則 是 必要條件.
（3）充要條件：若 ，且 ，則 是 充要條件.
註：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.
16.函數的單調性
(1)設 那麽
上是增函數；
上是減函數.
(2)設函數 在某個區間內可導，如果 ，則 為增函數；如果 ，則 為減函數.
17.如果函數 和 都是減函數,則在公***定義域內,和函數 也是減函數; 如果函數 和 在其對應的定義域上都是減函數,則復合函數 是增函數.
18．奇偶函數的圖象特征
奇函數的圖象關於原點對稱，偶函數的圖象關於y軸對稱;反過來，如果壹個函數的圖象關於原點對稱，那麽這個函數是奇函數；如果壹個函數的圖象關於y軸對稱，那麽這個函數是偶函數．
19.若函數 是偶函數，則 ；若函數 是偶函數，則 .
20.對於函數 ( ), 恒成立,則函數 的對稱軸是函數 ;兩個函數 與 的圖象關於直線 對稱.
21.若 ,則函數 的圖象關於點 對稱; 若 ,則函數 為周期為 的周期函數.
22．多項式函數 的奇偶性
多項式函數 是奇函數 的偶次項(即奇數項)的系數全為零.
多項式函數 是偶函數 的奇次項(即偶數項)的系數全為零.
23.函數 的圖象的對稱性
(1)函數 的圖象關於直線 對稱
.
(2)函數 的圖象關於直線 對稱
.
24.兩個函數圖象的對稱性
(1)函數 與函數 的圖象關於直線 (即 軸)對稱.
(2)函數 與函數 的圖象關於直線 對稱.
(3)函數 和 的圖象關於直線y=x對稱.
25.若將函數 的圖象右移 、上移 個單位，得到函數 的圖象；若將曲線 的圖象右移 、上移 個單位，得到曲線 的圖象.
26．互為反函數的兩個函數的關系
.
27.若函數 存在反函數,則其反函數為 ,並不是 ,而函數 是 的反函數.
28.幾個常見的函數方程
(1)正比例函數 , .
(2)指數函數 , .
(3)對數函數 , .
(4)冪函數 , .
(5)余弦函數 ,正弦函數 ， ，
.
29.幾個函數方程的周期(約定a>0)
（1） ，則 的周期T=a；
（2） ，
或 ，
或 ,
或 ,則 的周期T=2a；
(3) ，則 的周期T=3a；
(4) 且 ，則 的周期T=4a；
(5)
,則 的周期T=5a；
(6) ，則 的周期T=6a.
30.分數指數冪
(1) （ ，且 ）.
(2) （ ，且 ）.
31．根式的性質
（1） .
（2）當 為奇數時， ；
當 為偶數時， .
32．有理指數冪的運算性質
(1) .
(2) .
(3) .
註： 若a＞0，p是壹個無理數，則ap表示壹個確定的實數．上述有理指數冪的運算性質，對於無理數指數冪都適用.
33.指數式與對數式的互化式
.
34.對數的換底公式
( ,且 , ,且 , ).
推論 ( ,且 , ,且 , , ).
35．對數的四則運算法則
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1) ;
(2) ;
(3) .
36.設函數 ,記 .若 的定義域為 ,則 ，且 ;若 的值域為 ,則 ，且 .對於 的情形,需要單獨檢驗.
37. 對數換底不等式及其推廣
若 , , , ,則函數
(1)當 時,在 和 上 為增函數.
， (2)當 時,在 和 上 為減函數.
推論:設 ， ， ，且 ，則
（1） .
（2） .
38. 平均增長率的問題
如果原來產值的基礎數為N，平均增長率為 ，則對於時間 的總產值 ，有 .
39.數列的同項公式與前n項的和的關系
( 數列 的前n項的和為 ).
40.等差數列的通項公式
；
其前n項和公式為
.
41.等比數列的通項公式
；
其前n項的和公式為
或 .
42.等比差數列 : 的通項公式為
；
其前n項和公式為
.
43.分期付款(按揭貸款)
每次還款 元(貸款 元, 次還清,每期利率為 ).
44．常見三角不等式
（1）若 ，則 .
(2) 若 ，則 .
(3) .
45.同角三角函數的基本關系式
， = ， .
46.正弦、余弦的誘導公式
47.和角與差角公式
;
;
.
(平方正弦公式);
.
= (輔助角 所在象限由點 的象限決定, ).
48.二倍角公式
.
.
.
49. 三倍角公式
.
. .
50.三角函數的周期公式
函數 ，x∈R及函數 ，x∈R(A,ω, 為常數，且A≠0，ω＞0)的周期 ；函數 ， (A,ω, 為常數，且A≠0，ω＞0)的周期 .
51.正弦定理
.
52.余弦定理
;
;
.
53.面積定理
（1） （ 分別表示a、b、c邊上的高）.
（2） .
(3) .
54.三角形內角和定理
在△ABC中，有
.
55. 簡單的三角方程的通解
.
.
.
特別地,有
.
.
.
56.最簡單的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
57.實數與向量的積的運算律
設λ、μ為實數，那麽
(1) 結合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第壹分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的數量積的運算律：
(1) a?b= b?a （交換律）;
(2)（ a）?b= （a?b）= a?b= a?（ b）;
(3)（a+b）?c= a ?c +b?c.
59.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同壹平面內的兩個不***線向量，那麽對於這壹平面內的任壹向量，有且只有壹對實數λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不***線的向量e1、e2叫做表示這壹平面內所有向量的壹組基底．
60．向量平行的坐標表示
設a= ,b= ，且b 0，則a b(b 0) .
53. a與b的數量積(或內積)
a?b=|a||b|cosθ．
61. a?b的幾何意義
數量積a?b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
62.平面向量的坐標運算
(1)設a= ,b= ，則a+b= .
(2)設a= ,b= ，則a-b= .
(3)設A ，B ,則 .
(4)設a= ，則 a= .
(5)設a= ,b= ，則a?b= .
63.兩向量的夾角公式
(a= ,b= ).
64.平面兩點間的距離公式
=
(A ，B ).
65.向量的平行與垂直
設a= ,b= ，且b 0，則
A||b b=λa .
a b(a 0) a?b=0 .
66.線段的定比分公式
設 ， ， 是線段 的分點, 是實數，且 ，則
（ ）.
67.三角形的重心坐標公式
△ABC三個頂點的坐標分別為 、 、 ,則△ABC的重心的坐標是 .
68.點的平移公式
.
註:圖形F上的任意壹點P(x，y)在平移後圖形 上的對應點為 ，且 的坐標為 .
69.“按向量平移”的幾個結論
（1）點 按向量a= 平移後得到點 .
(2) 函數 的圖象 按向量a= 平移後得到圖象 ,則 的函數解析式為 .
(3) 圖象 按向量a= 平移後得到圖象 ,若 的解析式 ,則 的函數解析式為 .
(4)曲線 : 按向量a= 平移後得到圖象 ,則 的方程為 .
(5) 向量m= 按向量a= 平移後得到的向量仍然為m= .
70. 三角形五“心”向量形式的充要條件
設 為 所在平面上壹點，角 所對邊長分別為 ，則
（1） 為 的外心 .
（2） 為 的重心 .
（3） 為 的垂心 .
（4） 為 的內心 .
（5） 為 的 的旁心 .
71.常用不等式：
（1） (當且僅當a＝b時取“=”號)．
（2） (當且僅當a＝b時取“=”號)．
（3）
（4）柯西不等式
（5） .
72.極值定理
已知 都是正數，則有
（1）若積 是定值 ，則當 時和 有最小值 ；
（2）若和 是定值 ，則當 時積 有最大值 .
推廣 已知 ，則有
（1）若積 是定值,則當 最大時, 最大；
當 最小時, 最小.
（2）若和 是定值,則當 最大時, 最小；
當 最小時, 最大.
73.壹元二次不等式 ，如果 與 同號，則其解集在兩根之外；如果 與 異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.
；
.
74.含有絕對值的不等式
當a> 0時，有
.
或 .
75.無理不等式
（1） .
（2） .
（3） .
76.指數不等式與對數不等式
(1)當 時,
;
.
(2)當 時,
;
77.斜率公式
（ 、 ）.
78.直線的五種方程
（1）點斜式 (直線 過點 ，且斜率為 )．
（2）斜截式 (b為直線 在y軸上的截距).
（3）兩點式 ( )( 、 ( )).
(4)截距式 ( 分別為直線的橫、縱截距， )
（5）壹般式 (其中A、B不同時為0).
79.兩條直線的平行和垂直
(1)若 ，
① ;
② .
(2)若 , ,且A1、A2、B1、B2都不為零,
① ；
② ；
80.夾角公式
(1) .
( ， , )
(2) .
( , , ).
直線 時，直線l1與l2的夾角是 .
81. 到 的角公式
(1) .
( ， , )
(2) .
( , , ).
直線 時，直線l1到l2的角是 .
82．四種常用直線系方程
(1)定點直線系方程：經過定點 的直線系方程為 (除直線 ),其中 是待定的系數; 經過定點 的直線系方程為 ,其中 是待定的系數．
(2)***點直線系方程：經過兩直線 , 的交點的直線系方程為 (除 )，其中λ是待定的系數．
(3)平行直線系方程：直線 中當斜率k壹定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線 平行的直線系方程是 ( )，λ是參變量．
(4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是 ,λ是參變量．
83.點到直線的距離
(點 ,直線 ： ).
84. 或 所表示的平面區域
設直線 ，則 或 所表示的平面區域是：
若 ，當 與 同號時，表示直線 的上方的區域；當 與 異號時，表示直線 的下方的區域.簡言之,同號在上,異號在下.
若 ，當 與 同號時，表示直線 的右方的區域；當 與 異號時，表示直線 的左方的區域. 簡言之,同號在右,異號在左.
85. 或 所表示的平面區域
設曲線 （ ），則
或 所表示的平面區域是：
所表示的平面區域上下兩部分；
所表示的平面區域上下兩部分.
86. 圓的四種方程
（1）圓的標準方程 .
（2）圓的壹般方程 ( ＞0).
（3）圓的參數方程 .
（4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點是 、 ).
87. 圓系方程
(1)過點 , 的圓系方程是
,其中 是直線 的方程,λ是待定的系數．
(2)過直線 : 與圓 : 的交點的圓系方程是 ,λ是待定的系數．
(3) 過圓 : 與圓 : 的交點的圓系方程是 ,λ是待定的系數．
88.點與圓的位置關系
點 與圓 的位置關系有三種
若 ，則
點 在圓外; 點 在圓上; 點 在圓內.
89.直線與圓的位置關系
直線 與圓 的位置關系有三種:
;
;
.
其中 .
90.兩圓位置關系的判定方法
設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
;
;
;
;
.
91.圓的切線方程
(1)已知圓 ．
①若已知切點 在圓上，則切線只有壹條，其方程是
.
當 圓外時, 表示過兩個切點的切點弦方程．
②過圓外壹點的切線方程可設為 ，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，註意不要漏掉平行於y軸的切線．
③斜率為k的切線方程可設為 ，再利用相切條件求b，必有兩條切線．
(2)已知圓 ．
①過圓上的 點的切線方程為 ;
②斜率為 的圓的切線方程為 .
92.橢圓 的參數方程是 .
93.橢圓 焦半徑公式
， .
94．橢圓的的內外部
（1）點 在橢圓 的內部 .
（2）點 在橢圓 的外部 .
95. 橢圓的切線方程
(1)橢圓 上壹點 處的切線方程是 .
（2）過橢圓 外壹點 所引兩條切線的切點弦方程是
.
（3）橢圓 與直線 相切的條件是 .
96.雙曲線 的焦半徑公式
， .
97.雙曲線的內外部
(1)點 在雙曲線 的內部 .
(2)點 在雙曲線 的外部 .
98.雙曲線的方程與漸近線方程的關系
(1）若雙曲線方程為 漸近線方程： .
(2)若漸近線方程為 雙曲線可設為 .
(3)若雙曲線與 有公***漸近線，可設為 （ ，焦點在x軸上， ，焦點在y軸上）.
99. 雙曲線的切線方程
(1)雙曲線 上壹點 處的切線方程是 .
（2）過雙曲線 外壹點 所引兩條切線的切點弦方程是
.
（3）雙曲線 與直線 相切的條件是 .
100. 拋物線 的焦半徑公式
拋物線 焦半徑 .
過焦點弦長 .
101.拋物線 上的動點可設為P 或 P ，其中 .
102.二次函數 的圖象是拋物線：（1）頂點坐標為 ；（2）焦點的坐標為 ；（3）準線方程是 .
103.拋物線的內外部
(1)點 在拋物線 的內部 .
點 在拋物線 的外部 .
(2)點 在拋物線 的內部 .
點 在拋物線 的外部 .
(3)點 在拋物線 的內部 .
點 在拋物線 的外部 .
(4) 點 在拋物線 的內部 .
點 在拋物線 的外部 .
104. 拋物線的切線方程
(1)拋物線 上壹點 處的切線方程是 .
（2）過拋物線 外壹點 所引兩條切線的切點弦方程是 .
（3）拋物線 與直線 相切的條件是 .
105.兩個常見的曲線系方程
(1)過曲線 , 的交點的曲線系方程是
( 為參數).
(2)***焦點的有心圓錐曲線系方程 ,其中 .當 時,表示橢圓; 當 時,表示雙曲線.
106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或
（弦端點A ，由方程 消去y得到 ， , 為直線 的傾斜角， 為直線的斜率）.
107.圓錐曲線的兩類對稱問題
（1）曲線 關於點 成中心對稱的曲線是 .
（2）曲線 關於直線 成軸對稱的曲線是
.
108.“四線”壹方程
對於壹般的二次曲線 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 即得方程
，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程得到.
109．證明直線與直線的平行的思考途徑
（1）轉化為判定***面二直線無交點；
（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；
（3）轉化為線面平行；
（4）轉化為線面垂直；
（5）轉化為面面平行.
110．證明直線與平面的平行的思考途徑
（1）轉化為直線與平面無公***點；
（2）轉化為線線平行；
（3）轉化為面面平行.
111．證明平面與平面平行的思考途徑
（1）轉化為判定二平面無公***點；
（2）轉化為線面平行；
（3）轉化為線面垂直.
112．證明直線與直線的垂直的思考途徑
（1）轉化為相交垂直；
（2）轉化為線面垂直；
（3）轉化為線與另壹線的射影垂直；
（4）轉化為線與形成射影的斜線垂直.
113．證明直線與平面垂直的思考途徑
（1）轉化為該直線與平面內任壹直線垂直；
（2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；
（3）轉化為該直線與平面的壹條垂線平行；
（4）轉化為該直線垂直於另壹個平行平面；
（5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.
114．證明平面與平面的垂直的思考途徑
（1）轉化為判斷二面角是直二面角；
（2）轉化為線面垂直.
115.空間向量的加法與數乘向量運算的運算律
(1)加法交換律：a＋b=b＋a．
(2)加法結合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)數乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣
始點相同且不在同壹個平面內的三個向量之和，等於以這三個向量為棱的平行六面體的以公***始點為始點的對角線所表示的向量.
117.***線向量定理
對空間任意兩個向量a、b(b≠0 )，a‖b 存在實數λ使a=λb．
三點***線 .
、 ***線且 不***線 且 不***線.
118.***面向量定理
向量p與兩個不***線的向量a、b***面的 存在實數對 ,使 ．
推論 空間壹點P位於平面MAB內的 存在有序實數對 ,使 ，
或對空間任壹定點O，有序實數對 ，使 .
119.對空間任壹點 和不***線的三點A、B、C，滿足 （ ），則當 時，對於空間任壹點 ，總有P、A、B、C四點***面；當 時，若 平面ABC，則P、A、B、C四點***面；若 平面ABC，則P、A、B、C四點不***面．
四點***面 與 、 ***面
（ 平面ABC）.
120.空間向量基本定理
如果三個向量a、b、c不***面，那麽對空間任壹向量p，存在壹個唯壹的有序實數組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推論 設O、A、B、C是不***面的四點，則對空間任壹點P，都存在唯壹的三個有序實數x，y，z，使 .
121.射影公式
已知向量 =a和軸 ，e是 上與 同方向的單位向量.作A點在 上的射影 ，作B點在 上的射影 ，則
〈a，e〉=a?e
122.向量的直角坐標運算
設a＝ ，b＝ 則
(1)a＋b＝ ；
(2)a－b＝ ；
(3)λa＝ (λ∈R)；
(4)a?b＝ ；
123.設A ，B ，則
= .
124．空間的線線平行或垂直
設 ， ，則
；
.
125.夾角公式
設a＝ ，b＝ ，則
cos〈a，b〉= .
推論 ，此即三維柯西不等式.
126. 四面體的對棱所成的角
四面體 中, 與 所成的角為 ,則
.
127．異面直線所成角
=
(2) ； ；
(3) ；
(4) ；
(5) （ 為弧度）；
(6) （ 為弧度）；
(7) （ 為弧度）
196.判別 是極大（小）值的方法
當函數 在點 處連續時，
（1）如果在 附近的左側 ，右側 ，則 是極大值；
（2）如果在 附近的左側 ，右側 ，則 是極小值.
197.復數的相等
.（ ）
198.復數 的模（或絕對值）
= = .
199.復數的四則運算法則
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
200.復數的乘法的運算律
對於任何 ，有
交換律: .
結合律: .
分配律: .
201.復平面上的兩點間的距離公式
（ ， ）.
202.向量的垂直
非零復數 ， 對應的向量分別是 ， ，則
的實部為零 為純虛數
(λ為非零實數).
203.實系數壹元二次方程的解
實系數壹元二次方程 ，
①若 ,則 ;
②若 ,則 ;
③若 ，它在實數集 內沒有實數根；在復數集 內有且僅有兩個***軛復數根 .