且（AB/｜AB｜)?(AC/｜AC｜) =? ，判斷三角形ABC的形狀。
(原題寫漏半個中括號)(AB/│AB│表與向量AB同向的單位向量,其模=1.其余類似)
解:（AB/｜AB｜)?(AC/｜AC｜)=1×1×cosA =? ,故A=60°
[（AB/｜AB｜）+ (AC/｜AC｜)]?BC=│(AB/｜AB｜）+ (AC/｜AC｜)││BC│cos(A/2+C)=0
得cos(A/2+C)=0故A/2+C=90°,∴C=90°-60°/2=60°,
△ABC是等邊△.
2、在四邊形ABCD中，BD是它的壹條對角線，且 BC=λ(AD)（λ∈R），｜AB｜=｜AD｜=2，
｜CB-CD｜=2√3
（1）、若三角形BCD為直角三角形，求λ的值
（2）、在（1）的條件下，求 CB?BA
解:(1) │CB-CD│=│DB│=2√3
在△ABD中,│DB│?=│AD│?+│AB│?-2│AD││AB│cosA
即有12=4+4-8cosA,故cosA=-1/2, ∴A=120°, ∠ABD=∠ADB=30°
BC=λ(AD),故BC‖AD,且│BC│=λ│AD│=2λ
∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°
∠C=90°,故│BC│=2(√3)cos30°=3=2λ, ∴λ=3/2
(2)CB?BA=│CB││BA│cos120°=3×2×(-1/2)=-3
3、以原點和點A（5，2）為頂點作等腰直角三角形OAB，使∠B=90°，
求點B和向量AB 的坐標。
解:│OA│=√29, OA中點M(5/2, 1), 以M為圓心,以│OA│/2=(√29)/2為半徑作園M:
M: (x-5/2)?+(y-1)?=29/4
過M作OA的垂直線: y=-(5/2)(x-5/2)+1=-(5/2)x+29/4,代入園M的方程,化簡得
4x?-20x+21=(2x-7)(2x-3)=0
解得x?=3.5, x?=1.5.
於是y?=-1.5, y?=3.5
即B?(3.5, -1.5); B?(1.5, 3.5)
向量AB?=-1.5i - 3.5j
向量AB?=-3.5i +1.5j
4、已知O、A、B三點的坐標分別為O(0，0)，A(3，0)，B（0，3），點P在線段AB上，
且 向量AP=t倍向量AB，（0≤t≤1），則向量OA?向量OP的最大值為＿。
解:OA?OP=│OA││OP│cos∠AOP≤│OA│?=9
當t=0即P點與A點重合時OA?OP獲得最大值9.
5、與向量a=（7/2，?）和向量b=（?，7/2）的夾角相等，且模為1的向量的坐標是＿。
解:與向量a同向的單位向量a°=a/│a│=a/(25/2)=2a/25
與向量b同向的單位向量b°=b/│b│=b/(25/2)=2b/25
a°與b°的和向量c=a°+b°=(2/25)(a+b)
向量c平方向量a和b的架角.
與向量c同向的單位向量c°=c/│c│=c/(2/25)√2=(a+b)/√2=(√2)a/2+(√2)b/2
故與向量a,b夾角相等的單位向量c°的坐標為(√2/2, √2/2)
6、已知三點A(1，2)，B（3，1），C（-1，0），試回答下列問題：
（1）、用坐標表示向量AB，並求它的模；
（2）、求使向量AB=向量CD的點D的 坐標；
（3）、設向量AB和向量AC的夾角為θ，求cosθ 的值；
（4）、求平行四邊形ABCD的面積。
解:(1)AB=(3-1, 1-2)=(2, -1), │AB│=√[2?+(-1)?]=√5
(2)設D(x, y),則CD=(x+1, y-0)=(2, -1)
其中x+1=2, x=1, y=-1,故D(1,-1)
(3)AC=(-2, -2)
AB所在直線的斜率k?=-1/2; AC所在直線的斜率k?=1
故從AC到AB的夾角θ的正切tanθ=(k?-k?)/(1+k?k?)=(-1/2-1)/(1-1/2)=-3
於是得cosθ=-1/√(1+tan?θ)=-1/√10, sinθ=√(1-1/10)=3/√10,
(4)平形四邊ABCD的面積S=│AB││AC│sinθ=(√5)×(√8)×(3/√10)=6
7、平面內向量OA=（1，7），向量OB=（5，1），向量OP=（2，1），點Q為直線OP
上的壹個動點。
（1）、當向量QA?向量QB取最小值時，求向量OQ 的坐標；
（2）、當點Q滿足（1）的條件和結論時，求cos∠AQB 的值。
解:(1)Q在OP上,故可設Q的坐標為(2y,y),其中0≤y≤1.
QB=(5-2y, 1-y), QA=(1-2y, 7-y)
QA?QB=(5-2y)(1-2y)+(1-y)(7-y)=5y?-20y+12=5(y-2)?-8
當y=1時QA?QB獲得最小值(-3)
(2)此時Q(2, 1), QB=(3, 0); QA=(-1, 6)
cos∠AQB=QA?QB/│QA││QB│=-3/(3√37)=-1/√37.
8、已知向量a，b為非零向量，當 向量a+t倍向量b （t∈R）的模取最小值時：
（1）、求t的值；
（2）、求證：向量b 與 向量a+t倍向量b 垂直。
解:(1)為使問題簡化,取a,b的交點O作坐標原點,向量b在x軸上且與x軸同向,a在第壹象限
內,a於b的夾角為銳角.於是可設a=(m,n), b=(k,0), (m＞0, n＞0, k＞0)
a+tb=(m+tk, n)
│a+tb│=√[(m+kt)?+n?]=√(k?t?+2mkt+m?+n?)=√[k?(t+m/k)?+n?]≥n
當t=-m/k時等號成立,此時│a+tb│min=n, a+tb=(0, n)
(2)b?(a+tb)=k×0+0×n=0,又b?(a+tb)=│b││a+tb│cosθ=0
其中θ為a與a+tb的夾角,│b│≠0, │a+tb│≠0,故必有cosθ=0,即θ=90°
也就是b⊥(a+tb), 故證.
9、已知AD 、BE、CF是三角形ABC的三條高，求證：AD 、BE、 CF相交於壹點。
解:此題用矢量好像不好證.妳看看初等幾何吧.下回別壹次提這麽多問題,太費時間了!