機床由於連續使用，各組件會由於磨損而損壞，產生工序障礙。若此時繼續生產，則零
件中會大量出現不合格產品而造成損失。為減少損失，應按壹定的檢查間隙對零件進行
檢查，若發現不合格品，就對機床進行檢修。又由於刀具損壞造成的故障占工序故障中
的95%，故可考慮按壹定的策略更換刀具。以上的操作均要花費壹定的維護費用，但能有
效的減小廢品損失，在這壹對矛盾的作用下，必然存在最佳的檢查間隔和刀具更換策略
，使維護費用與不合格品損失之和最小。
由已知的100次刀具故障記錄，通過 檢驗，可知兩次刀具發生故障前完成的零件數滿足
正態分布。由於其它故障僅占工序障礙的5%，它對最佳檢查間隙與換刀策略的影響不大
。為簡化計算，不妨設其它故障發生時，完成的零件數滿足均勻分布，其它故障的發生
與刀具故障的發生相互獨立。
定義相鄰兩次刀具更新的隨機過程為壹個更新周期 ， 的值為此兩次更新過程中機床生
產的零件數。 為更新周期的總費用。則我們的目標為求出最佳的 ， ，使 最小。這可
以通過計算機搜索得到較好的解決方案。通過蒙特卡羅模擬實際工序，對此方案進行檢
驗，並作壹定的調整。
三 數據分析
題目給出了100次刀具故障記錄（完成的零件數），比較直接的想法便是對這100個數據
進行數理統計。統計得到結果為均值600，標準差196.63，同時給定顯著性水平
，用 檢驗檢驗出刀具故障可服從正態分布，記為：
但正態分布的概率密度在 上都有取值，而發生刀具故障時完成的零件數卻是正值，對此
解釋如下：
由正態分布的 原則，可知刀具故障是完成的零件數在 內的概率為99.7%，落在其它範圍
內的概率很小，是0.3%，可認為是小概率事件，在實際中並不發生，這樣，便可解釋上
述矛盾。
又由均值600可知，平均每生產600個零件就會發生壹次刀具事故；題目又告訴了工序故
障中，刀具損壞的故障占95%，其它故障占5%，結合大數定律，可推知其它故障發生時生
產的零件個數的數學期望為600 。
記其它故障發生時生產的零件數的概率密度：
四 參數說明
T：檢查間隔； d：發生故障進行調節使恢復正常的平均費用（包括換刀費）3000
元；
k：未發現故障時更換把新刀的費用,1000元 h:誤判工序錯誤而停機造成的1500元損失
K0 ：規定的壹個刀具更換間隔，是壹個常量； f: 生產壹個廢品的損失200元；
N：K0內包含的檢查次數，在用計算機求解中我們認為K0中包含整數個檢查次數。
（T，K0以生產的零件數作為衡量時間長度的標誌）
五 基本假設
1． 刀具故障與其它故障相互獨立；
2． 工作人員檢查出不合格品，則應停機檢查。
六 模型建立
通過以上的分析，我們得知，本題屬於優化問題，需要確定最優的檢查間隙 與刀具更換
間隔 ，使花費的期望值最小。即目標函數:
七 模型求解
問題壹：假定工序出現故障時產出的零件均為不合格品，正常時產出的零件均為合格品
，為該工序設計效益最好的檢查間隙和刀具更換策略。
安排工作人員按以下步驟進行檢查和刀具更換：
1． 以 個零件為間隙進行檢查，若第 次檢查查出的零件為不合格品，則轉3；否則繼續
進行，直到完成 次檢查，轉2；
2． 更換刀具，轉1；
3．進行調節，使之恢復正常。若故障由刀具故障引起，轉1，若故障由其它故障引起，
則完成剩余的 次檢查，轉2。（若檢查出不合格品，按3中方法處理），現要求出最佳
和 ，使 最小。
顯然，當刀具出現故障使機床生產的零件數大於 時，更新周期 ，當刀具出現故障時機
床生產的零件數小於 時，更新周期 ，由此得出 ：
說明： 為故障發生前生產零件數為概率密度函數
為刀具更換間隙，即 ；
為檢查間隙。
為刀具故障發生在第i個檢查間隔內的概率 。
其次，近似確定 ，即壹個換刀周期內的平均費用，刀具故障與其它故障均會造成維護費
用，故應綜合考慮。
1． 考慮刀具故障造成的費用：
同求 的思想壹致，我們可以寫出由於刀具故障造成的費用的期望值的表達式： 。
說明： 表示刀具故障發生在刀具更替次數為 的平均費用。 表示刀具故障發生在第 個
檢查間隙內的概率， 近似表示不合格產品造成的損失。
2． 考慮其它故障造成的費用
由於其它故障占工序故障的比例只有5%，可考慮簡化處理，不妨假設在任壹更新周期內
，其它故障至多發生壹次。
設其它故障發生在第 個檢查間隙內，其概率為 。 為其它故障發生前，機床生產零件
數的概率密度函數。
由於其它故障的出現不會影響更新周期，故無論其它故障發生在哪壹檢查間隙內，檢查
費用為 ，維修費用為 。故其它故障造成費用的數學期望為：
；
綜合考慮，可給出 的近似表達式。
目標 為雙變量 和 的函數，用計算機進行搜索，可求出
取值最小時，K0=450 ,T=18
問題二
如果該工序正常時產出的零件不全是合格品，有2%為不合格品；而工序故障時產出的零
件有40%為合格品，60%為不合格品。工序正常而誤認為有故障停機產生的損失費用為15
00元/件。對該工序設計效益最好的檢查間隔 和刀具更換間隔 。
為解決此問題，同樣需要確定目標函數
首先求 的表達式：
1、 考慮刀具故障造成的損失：
類似於問題壹的求解，換刀周期x>k0時，其概率為 ，現在求此情況
下的損失。
由於其它故障在(0,k0)上發生的概率很小，因此在考慮刀具故障時，可認為其它
故障在(0~k0)上不發生。所以在上述刀具故障不發生在(0,k0)的條件下，可看作(0,k0)
內無工序故障發生。費用包括：檢查費用、更換刀具費用、機床無故障時生產出2%的不
合格品損失、誤判斷機床故障而造成的1500元損失，即 。
換刀周期x<k0小時，為求此情況下的損失期望，仍可類似於問題壹的求解，把(0
,k0)劃分為 段， 是在第i段上發生刀具故障的概率，下面對第i段上發生刀具故障而引
起的損失討論如下：
（1）發生故障後的檢修費d=3000元，
（2）前面 段（近似認為故障在第i段的中間發生）機器雖然正常工作，但有檢查費，2
%的不合格品損失及誤判機器有故障引起的1500元損失，即
工序流程圖
（3） 機床發生故障後，會以0.6的概率生產不合格品，0.4的概率生產合格品，故第i段
末，即第i個檢查點，檢查出機床壞的概率為0.6，這時損失來自半段中的不合格品損失
，及檢查費： ；但還有可能存在第i個檢查點檢查不出機器故障，要到第i+1個檢查點才
能查出故障的情況，概率為0.4*0.6，損失 ；同理還存在直到第i+2個檢查點才查出故障
的情況，概率 ，損失 。雖然還可能有i+3,i+4……個檢查點才能查出故障的情況，但由
於這些情況的概率 ，故不再考慮。
綜上，可寫出第i段上的損失期望：
所以 ，綜合以上考慮，可得出由於刀具故障引起的損失期望：
2、 考慮其他故障造成的損失：
在1中，我們略去了對其他故障造成的損失的考慮，這是由於其他故障在換刀周期內
發生的概率非常小，這是合理的。但為了模型更完備，我們也近似的引入其他故障的損
失期望。類於問題壹的分析，取換刀周期的最大值K0，近似計算出這時的費用期望：
需要指出得失，S2的值與S1比，相對是很小的，它對結果的影響並不顯著。
1． 換刀周期的數學期望的確定：
換刀周期的數學期望同樣石由刀具故障決定的（檢修其他故障並不更換刀具），故
形式同於問題壹求解中的 的形式。
用計算機可求出目標函數 達到最小時的k0與T
k0=324，T=39。
問題三：
在問題二的前提下，正確調整檢查間隔和換刀間隔，可以減小損耗，也可以通過改進
檢查方式來獲得更高效益。
損耗可調控的部分為誤判產生的停機損失費。分析產生誤判原因，廢品中經過計算有
95%是正常工序下產生，5%是在故障工序下產生的。但是正常工序下，產生連續兩個廢品
的概率為0.0004，而在工序不正常情況下，連續兩個廢品概率為0.36。當出現連續兩個
廢品時，可認為工序不正常。故由此有改進方案。
1． 檢查時零件為正品時檢查結束。
2． 檢查時零件為廢品時，再檢查下壹個，為廢品時，停機檢查；為正品時，不停機，
認為工序正常。
此方案雖增加了檢查費用，但大大減小了誤判而停機的花費。
八 模型分析
為檢驗不同的h，t，k，f的變化對損失sf的影響，我們分別對它們賦以不同的值，算
出對應的sf值如下表：（sf是生產60000個零件的損失和）
1、h的變化對sf的影響
H(元) 1300 1400 1500 1600 1700
Sf(萬元) 59.870 60.216 60.550 60.706 61.013
K0（個） 330 324 324 312 312
T（個） 33 36 36 39 39
N（次） 10 9 9 8 8
m（萬元） 1.31
2、t的變化對sf的影響
T(元) 8 9 10 11 12
Sf(萬元) 60.200 60.375 60.550 60.553 60.706
K0（個） 324 324 324 312 312
T（個） 36 36 36 39 39
N（次） 9 9 9 8 8
m（萬元） 4.10
3、k的變化對sf的影響
K(元) 800 900 1000 1100 1200
Sf(萬元) 56.633 58.743 60.550 62.152 63.841
K0（個） 287 304 324 324 340
T（個） 41 38 36 36 34
N（次） 7 8 9 9 10
M（萬元） 16.94
4、f的變化對sf的影響
f(元) 100 125 150 175 200 225 250 275 300
sf(萬元) 44.116 48.570 52.656 56.468 60.550 64.257 68.057 71.941 75.543
K0（個） 343 344 328 320 324 315 306 310 297
T（個） 49 43 41 40 36 35 34 31 33
N（次） 7 8 8 8 9 9 9 10 9
m（萬元） 23.86
為了判別參數 對損失費用函數的 的影響引入相對改變量的評價指標
設
即 改變壹個單位相對量（如1%）對損失費用產生的影響。
當改變參數單位相對量時，引起的損失費用越大，則參數的靈敏度越高，對 排序則：
即在對損失費的靈敏度中。
零件損失費>更新刀具費>停機損失費>檢查費用。
建議：
為謀求最大經濟效益，減少生產損失。
1、 采用最優的檢查周期和換刀周期。
2、 盡可能降低零件損失費和換刀具費用就可大幅度減少損失費用。
九 模型檢驗
我們采用計算機模擬的方法對模型結果進行檢驗。現簡述模擬程序思想如下：
首先根據刀具故障和其它故障的概率分布，產生壹系列的樣本點，再在壹定的範圍內不
斷地試取檢查周期和換刀間隔，模擬實際的生產過程得到壹系列的損失費，從中求出最
小值及其對應的檢查周期和換刀間隔，作為最優解。
具體程序請見附錄4，5。
對問題2進行多次模擬，得到壹系列的結果如下：
損失sf（萬元） 59.516 59.696 60.129 58.146 60.058 55.478 61.048 59.981 58.80
8 59.720
換刀周期K0 336 368 360 294 234 336 312 294 240 400
檢查周期T 48 46 40 42 39 48 39 42 42 40
分析：模擬的結果在[234-400]區間波動是由於：每執行壹次，隨機的取壹組刀具損壞零
件數，由於方差為196.62很大，故波動範圍較寬，但仍在 附近，費用函數穩定在58萬-
61萬之間，而模型得到的解 和 準確的落在以上區域上。模型具有較好的穩定性。
參考文獻
朱文予 《機械可靠性設計》 上海交通大學出版社
1992
許仁忠 鐘冠國等 《概率論與數理統計》 四川科學技術出版社 1
988
matlab源程序（略）