函數?
目錄·簡介·復合函數·反函數·隱函數·多元函數·二次函數·壹次函數·三角函數·函數概念的發展歷史簡介在數學領域，函數是壹種關系，這種關系使壹個集合裏的每壹個元素對應到另壹個（可能相同的）集合裏的唯壹元素。（這只是壹元函數f（x）＝y的情況，請按英文原文把普遍定義給出，謝謝）。----A?variable?so?related?to?another?that?for?each?value?assumed?by?one?there?is?a?value?determined?for?the?other.應變量，函數壹個與他量有關聯的變量，這壹量中的任何壹值都能在他量中找到對應的固定值。----A?rule?of?correspondence?between?two?sets?such?that?there?is?a?unique?element?in?the?second?set?assigned?to?each?element?in?the?first?set.函數兩組元素壹壹對應的規則，第壹組中的每個元素在第二組中只有唯壹的對應量。函數的概念對於數學和數量學的每壹個分支來說都是最基礎的。functions? 數學中的壹種對應關系，是從某集合A到實數集B的對應。簡單地說，甲隨著乙變，甲就是乙的函數?。精確地說，設X是壹個不空集合，Y是某個實數集合?，f是個規則?，?若對X中的每個x，按規則f，有Y中的壹個y與之對應?，?就稱f是X上的壹個函數，記作y＝f（x），稱X為函數f（x）的定義域，Y為其值域，x叫做自變量，y為因變量。? 例1：y＝sinx?X＝［0，2π］，Y＝［－1，1］?，它給出了壹個函數關系。當然?，把Y改為Y1＝（a，b）?，a＜b為任意實數，仍然是壹個函數關系。?其深度y與壹岸邊點?O到測量點的距離?x?之間的對應關系呈曲線，這代表壹個函數，定義域為［0，b］。以上3例展示了函數的三種表示法：公式法?，?表格法和圖像法。? 復合函數有3個變量，y是u的函數，y＝ψ（u），u是x的函數，u＝f（x），往往能形成鏈：y通過中間變量u構成了x的函數：? x→u→y，這要看定義域：設ψ的定義域為U?。?f的值域為U，當U*?U時，稱f與ψ?構成壹個復合函數?，?例如?y＝lgsinx，x∈（0，π）。此時sinx＞0?，lgsinx有意義?。但如若規定x∈（－π，0），此時sinx＜0?，lgsinx無意義?，就成不了復合函數。? 反函數就關系而言，壹般是雙向的?，函數也如此?，設y＝f（x）為已知的函數，若對每個y∈Y，有唯壹的x∈X，使f（x）＝y，這是壹個由y找x的過程?，即x成了y的函數?，記為x＝f?-1（y）。稱f?-1為f的反函數。習慣上用x表示自變量?，故這個函數仍記為y＝f?-1（x）?，例如?y＝sinx與y＝arcsinx?互為反函數。在同壹坐標系中，y＝f（x）與y＝f?-1（x）的圖形關於直線y＝x對稱。? 隱函數若能由函數方程?F（x，y）＝0?確定y為x的函數y＝f（x），即F（x，f（x））≡0，就稱y是x的隱函數。? 多元函數設點（x1，x2，…，xn）?∈G?Rn，U?R1?，若對每壹點（x1，x2，…，xn）∈G，由某規則f有唯壹的?u∈U與之對應：f：G→U，u＝f（x1，x2，…，xn），則稱f為壹個n元函數，G為定義域，U為值域。? 基本初等函數及其圖像?冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數稱為基本初等函數。? ①冪函數：y＝xμ（μ≠0，μ為任意實數）定義域：μ為正整數時為（－∞，＋∞），μ為負整數時是（－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝(α為整數)，當α是奇數時為（?－∞，＋∞），當α是偶數時為（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作為的復合函數進行討論。略圖如圖2、圖3。?②指數函數：y＝ax（a＞0?，a≠1），定義成為（?－∞，＋∞），值域為（0?，＋∞），a＞0?時是嚴格單調增加的函數（?即當x2＞x1時，）?，0＜a＜1?時是嚴格單減函數。對任何a，圖像均過點（0，1），註意y＝ax和y＝（）x的圖形關於y軸對稱。如圖4。?③對數函數：y＝logax（a＞0），?稱a為底?，?定義域為（0，＋∞），值域為（－∞，＋∞）?。a＞1?時是嚴格單調增加的，0＜a＜1時是嚴格單減的。不論a為何值，對數函數的圖形均過點（1，0），對數函數與指數函數互為反函數?。如圖5。?以10為底的對數稱為常用對數?，簡記為lgx?。在科學技術中普遍使用的是以e為底的對數，即自然對數，記作lnx。?④三角函數：見表2。?正弦函數、余弦函數如圖6，圖7所示。?⑤反三角函數：見表3。雙曲正、余弦如圖8。?⑥雙曲函數：雙曲正弦（ex－e-x），雙曲余弦?（ex＋e-x），雙曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x）?，雙曲余切（?ex＋e-x）／（ex－e-x）。?[編輯]補充在數學領域，函數是壹種關系，這種關系使壹個集合裏的每壹個元素對應到另壹個（可能相同的）集合裏的唯壹元素（這只是壹元函數f（x）＝y的情況，請按英文原文把普遍定義給出，謝謝）。函數的概念對於數學和數量學的每壹個分支來說都是最基礎的。?術語函數，映射，對應，變換通常都是同壹個意思。?
3.?註意下列性質：
要知道它的來歷：若B為A的子集，則對於元素a1來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對於元素a2,?a3,……an,都有2種選擇，所以，總***有?種選擇，?即集合A有?個子集。當然，我們也要註意到，這?種情況之中，包含了這n個元素全部在何全部不在的情況，故真子集個數為?，非空真子集個數為?
（3）德摩根定律：
有些版本可能是這種寫法，遇到後要能夠看懂
4.?妳會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）
的取值範圍。
註意，有時候由集合本身就可以得到大量信息，做題時不要錯過；?如告訴妳函數f(x)=ax2+bx+c(a>0)?在?上單調遞減，在?上單調遞增，就應該馬上知道函數對稱軸是x=1.或者，我說在上?，也應該馬上可以想到m，n實際上就是方程?的2個根
5、熟悉命題的幾種形式、
命題的四種形式及其相互關系是什麽？
（互為逆否關系的命題是等價命題。）
原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。
6、熟悉充要條件的性質（高考經常考）
滿足條件?，?滿足條件?，若?；則?是?的充分非必要條件?；
若?；則?是?的必要非充分條件?；
若?；則?是?的充要條件?；
若?；則?是?的既非充分又非必要條件?；
7.?對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否註意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的唯壹性，哪幾種對應能構成映射？
（壹對壹，多對壹，允許B中有元素無原象。）
註意映射個數的求法。如集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從A到B的映射個數有nm個。
如：若?，?；問：?到?的映射有個，?到?的映射有?個；?到?的函數有?個，若?，則?到?的壹壹映射有?個。
函數?的圖象與直線?交點的個數為?個。
8.?函數的三要素是什麽？如何比較兩個函數是否相同？（定義域、對應法則、值域）
相同函數的判斷方法：①表達式相同；②定義域壹致?(兩點必須同時具備)
9.?求函數的定義域有哪些常見類型？
函數定義域求法：
分式中的分母不為零； 偶次方根下的數（或式）大於或等於零； 指數式的底數大於零且不等於壹； 對數式的底數大於零且不等於壹，真數大於零。 正切函數 余切函數 反三角函數的定義域函數y＝arcsinx的定義域是?[－1,?1] ?，值域是?，函數y＝arccosx的定義域是?[－1,?1]?，值域是?[0,?π]?，函數y＝arctgx的定義域是?R?，值域是?.，函數y＝arcctgx的定義域是?R?，值域是?(0,?π)?.
當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現時，先分別求出滿足每壹個條件的自變量的範圍，再取他們的交集，就得到函數的定義域。
10.?如何求復合函數的定義域？
義域是_____________。?
冪函數
概念
形如y=x^a(a為常數）的函數，即以底數為自變量?冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。當a取非零的有理數時是比較容易理解的，而對於a取無理數時，初學者則不大容易理解了。因此，在初等函數裏，我們不要求掌握指數為無理數的問題，只需接受它作為壹個已知事實即可，因為這涉及到實數連續統的極為深刻的知識。
特性
對於a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：首先我們知道如果a=p/q，且p/q為既約分數（即p、q互質），q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號下（x的p次方），如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0,+∞）。當指數a是負整數時，設a=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是（－∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，壹是有可能作為分母而不能是0，壹是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那麽我們就可以知道：?
a小於0時，x不等於0；?
q為偶數時，x不小於0；?
q為奇數時，x取R。
定義域與值域
當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：
1.如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函數的定義域為大於0的所有實數；
2.如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等於0?的所有實數。
當x為不同的數值時，冪函數的值域的不同情況如下：?
1.在x大於0時，函數的值域總是大於0的實數。
2.在x小於0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。而只有a為正數，0才進入函數的值域。由於x大於0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第壹象限的各自情況.
第壹象限的特殊性
可以看到：?
（1）所有的圖形都通過（1，1）這點.(a≠0)?a>0時?圖象過點（0，0）和（1，1）?
（2）當a大於0時，冪函數為單調遞增為增函數? 而a小於0時，冪函數為單調遞減為減函數。?
（3）當a大於1時，冪函數圖形下凸（豎拋）；當a小於1大於0時，冪函數圖形上凸（橫拋）。當a小於0時，圖像為雙曲線。?
（4）當a小於0時，a越小，圖形傾斜程度越大。?
（5）顯然冪函數無界限。?
（6）a=2n,該函數為偶函數?{x|x≠0}。
圖象
冪函數的圖象：? ①當a≤-1且a為奇數時，函數在第壹、第三象限為減函數? ②當a≤-1且a為偶數時，函數在第二象限為增函數，第壹象限為減函數? ③當a=0且x不為0時，函數圖象平行於x軸且y=1、但不過(0,1)? ④當0<a<1時，函數是增函數? ⑤當a≥1且a為奇數時，函數是奇函數? ⑥當a≥1且a為偶數時，函數是偶函數