x09例1 恒利商廈九月份的銷售額為200萬元,十月份的銷售額下降了20%,商廈從十壹月份起加強管理,改善經營,使銷售額穩步上升,十二月份的銷售額達到了193.6萬元,求這兩個月的平均增長率.
x09解 設這兩個月的平均增長率是x.,則根據題意,得200(1－20%)(1+x)2＝193.6,
x09即(1+x)2＝1.21,解這個方程,得x1＝0.1,x2＝－2.1（舍去）.
x09答 這兩個月的平均增長率是10%.
x09說明 這是壹道正增長率問題,對於正的增長率問題,在弄清楚增長的次數和問題中每壹個數據的意義,即可利用公式m(1+x)2＝n求解,其中m＜n.對於負的增長率問題,若經過兩次相等下降後,則有公式m(1－x)2＝n即可求解,其中m＞n.
x09二、商品定價
x09例2 益群精品店以每件21元的價格購進壹批商品,該商品可以自行定價,若每件商品售價a元,則可賣出（350－10a）件,但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%,商店計劃要盈利400元,需要進貨多少件?每件商品應定價多少?
x09解 根據題意,得(a－21)(350－10a)＝400,整理,得a2－56a+775＝0,
x09解這個方程,得a1＝25,a2＝31.
x09因為21×(1+20%)＝25.2,所以a2=31不合題意,舍去.
x09所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.
x09答 需要進貨100件,每件商品應定價25元.
x09說明 商品的定價問題是商品交易中的重要問題,也是各種考試的熱點.
x09三、儲蓄問題
x09例3 王紅梅同學將1000元壓歲錢第壹次按壹年定期含蓄存入“少兒銀行”,到期後將本金和利息取出,並將其中的500元捐給“希望工程”,剩余的又全部按壹年定期存入,這時存款的年利率已下調到第壹次存款時年利率的90%,這樣到期後,可得本金和利息***530元,求第壹次存款時的年利率.（假設不計利息稅）
x09解 設第壹次存款時的年利率為x.
x09則根據題意,得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理,得90x2+145x－3＝0.
x09解這個方程,得x1≈0.0204＝2.04%,x2≈－1.63.由於存款利率不能為負數,所以將x2≈－1.63舍去.
x09答 第壹次存款的年利率約是2.04%.
x09說明 這裏是按教育儲蓄求解的,應註意不計利息稅.
x09四、趣味問題
x09例4 壹個醉漢拿著壹根竹竿進城,橫著怎麽也拿不進去,量竹竿長比城門寬4米,旁邊壹個醉漢嘲笑他,妳沒看城門高嗎,豎著拿就可以進去啦,結果豎著比城門高2米,二人沒辦法,只好請教聰明人,聰明人教他們二人沿著門的對角斜著拿,二人壹試,不多不少剛好進城,妳知道竹竿有多長嗎?
x09解 設渠道的深度為xm,那麽渠底寬為(x+0.1)m,上口寬為(x+0.1+1.4)m.
x09則根據題意,得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8,整理,得x2+0.8x－1.8＝0.
x09解這個方程,得x1＝－1.8（舍去）,x2＝1.
x09所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.
x09答 渠道的上口寬2.5m,渠深1m.
x09說明 求解本題開始時好象無從下筆,但只要能仔細地閱讀和口味,就能從中找到等量關系,列出方程求解.
x09五、古詩問題
x09例5 讀詩詞解題：（通過列方程式,算出周瑜去世時的年齡）.
x09大江東去浪淘盡,千古風流數人物；
x09而立之年督東吳,早逝英年兩位數；
x09十位恰小個位三,個位平方與壽符；
x09哪位學子算得快,多少年華屬周瑜?
x09解 設周瑜逝世時的年齡的個位數字為x,則十位數字為x－3.
x09則根據題意,得x2＝10(x－3)+x,即x2-11x+30＝0,解這個方程,得x＝5或x＝6.
x09當x＝5時,周瑜的年齡25歲,非而立之年,不合題意,舍去；
x09當x＝6時,周瑜年齡為36歲,完全符合題意.
x09答 周瑜去世的年齡為36歲.
x09說明 本題雖然是壹道古詩問題,但它涉及到數字和年齡問題,通過求解同學們應從中認真口味.
x09六、象棋比賽
x09例6 象棋比賽中,每個選手都與其他選手恰好比賽壹局,每局贏者記2分,輸者記0分.如果平局,兩個選手各記1分,領司有四個同學統計了中全部選 手的得分總數,分別是1979,1980,1984,1985.經核實,有壹位同學統計無誤.試計算這次比賽***有多少個選手參加.
x09解 設***有n個選手參加比賽,每個選手都要與(n－1)個選手比賽壹局,***計n(n－1)局,但兩個選手的對局從每個選手的角度各自統計了壹次,因此實際比賽總局數應為n(n－1)局.由於每局***計2分,所以全部選手得分總***為n(n－1)分.顯然(n－1)與n為相鄰的自然數,容易驗證,相鄰兩自然數乘積的末位數字只能是0,2,6,故總分不可能是1979,1984,1985,因此總分只能是1980,於是由n(n－1)＝1980,得n2－n－1980＝0,解得n1＝45,n2＝－44（舍去）.
x09答 參加比賽的選手***有45人.
x09說明 類似於本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈賀年片等問題,都可以仿照些方法求解.
x09七、情景對話
x09例7 春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區旅遊,推出了如圖1對話中收費標準.
某單位組織員工去天水灣風景區旅遊,***支付給春秋旅行社旅遊費用27000元.請問該單位這次***有多少員工去天水灣風景區旅遊?
x09解 設該單位這次***有x名員工去天水灣風景區旅遊.因為1000×25＝25000＜27000,所以員工人數壹定超過25人.
x09則根據題意,得[1000－20(x－25)]x＝27000.
x09整理,得x2－75x+1350＝0,解這個方程,得x1＝45,x2＝30.
x09當x＝45時,1000－20(x－25)＝600＜700,故舍去x1；
x09當x2＝30時,1000－20(x－25)＝900＞700,符合題意.
x09答：該單位這次***有30名員工去天水灣風景區旅遊.
說明 求解本題要時刻註意對話框中的數量關系,求得的解還要註意分類討論,從中找出符合題意的結論.
x09八、等積變形
x09例8 將壹塊長18米,寬15米的矩形荒地修建成壹個花園（陰影部分）所占的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）
x09（1）設計方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.
x09（2）設計方案2（如圖3）花園中每個角的扇形都相同.
x09以上兩種方案是否都能符合條件?若能,請計算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件,請說明理由.
x09解 都能.（1）設小路寬為x,則18x+16x－x2＝×18×15,即x2－34x+180＝0,
x09解這個方程,得x＝,即x≈6.6.
x09（2）設扇形半徑為r,則3.14r2＝×18×15,即r2≈57.32,所以r≈7.6.
x09說明 等積變形壹般都是涉及的是常見圖形的體積,面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也變,但重量不變,等等.
x09九、動態幾何問題
x09例9 如圖4所示,在△ABC中,∠C＝90°,AC＝6cm,BC＝8cm,點P從點A出發沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動,點Q從C點出發沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動.
x09（1）如果P、Q同時出發,幾秒鐘後,可使△PCQ的面積為8平方厘米?
x09（2）點P、Q在移動過程中,是否存在某壹時刻,使得△PCQ的面積等於△ABC的面積的壹半.若存在,求出運動的時間；若不存在,說明理由.
x09解 因為∠C＝90°,所以AB＝＝＝10（cm）.
x09（1）設xs後,可使△PCQ的面積為8cm2,所以 AP＝xcm,PC＝(6－x)cm,CQ＝2xcm.
x09則根據題意,得·(6－x)·2x＝8.整理,得x2－6x+8＝0,解這個方程,得x1＝2,x2＝4.
x09所以P、Q同時出發,2s或4s後可使△PCQ的面積為8cm2.
x09（2）設點P出發x秒後,△PCQ的面積等於△ABC面積的壹半.
x09則根據題意,得(6－x)·2x＝××6×8.整理,得x2－6x+12＝0.
x09由於此方程沒有實數根,所以不存在使△PCQ的面積等於ABC面積壹半的時刻.
x09說明 本題雖然是壹道動態型應用題,但它又要運用到行程的知識,求解時必須依據路程＝速度×時間.
x09十、梯子問題
x09例10 壹個長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的底端距墻角6m.
x09（1）若梯子的頂端下滑1m,求梯子的底端水平滑動多少米?
x09（2）若梯子的底端水平向外滑動1m,梯子的頂端滑動多少米?
x09（3）如果梯子頂端向下滑動的距離等於底端向外滑動的距離,那麽滑動的距離是多少米?
x09解 依題意,梯子的頂端距墻角＝8（m）.
x09（1）若梯子頂端下滑1m,則頂端距地面7m.設梯子底端滑動xm.
x09則根據勾股定理,列方程72+(6+x)2＝102,整理,得x2+12x－15＝0,
x09解這個方程,得x1≈1.14,x2≈－13.14（舍去）,
x09所以梯子頂端下滑1m,底端水平滑動約1.14m.
x09（2）當梯子底端水平向外滑動1m時,設梯子頂端向下滑動xm.
x09則根據勾股定理,列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理,得x2－16x+13＝0.
x09解這個方程,得x1≈0.86,x2≈15.14（舍去）.
x09所以若梯子底端水平向外滑動1m,則頂端下滑約0.86m.
x09（3）設梯子頂端向下滑動xm時,底端向外也滑動xm.
x09則根據勾股定理,列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102,整理,得2x2－4x＝0,
x09解這個方程,得x1＝0（舍去）,x2＝2.
x09所以梯子頂端向下滑動2m時,底端向外也滑動2m.
x09說明 求解時應註意無論梯子沿墻如何上下滑動,梯子始終與墻上、地面構成直角三角形.
x09十壹、航海問題
x09例11 如圖5所示,我海軍基地位於A處,在其正南方向200海裏處有壹重要目標B,在B的正東方向200海裏處有壹重要目標C,小島D恰好位於AC的中點,島上有壹補給碼頭；小島F位於BC上且恰好處於小島D的正南方向,壹艘軍艦從A出發,經B到C勻速巡航．壹艘補給船同時從D出發,沿南偏西方向勻速直線航行,欲將壹批物品送往軍艦.
x09（1）小島D和小島F相距多少海裏?
x09（2）已知軍艦的速度是補給船的2倍,軍艦在由B到C的途中與補給船相遇於E處,那麽相遇時補給船航行了多少海裏?（精確到0.1海裏）
x09解（1）F位於D的正南方向,則DF⊥BC.因為AB⊥BC,D為AC的中點,所以DF＝AB＝100海裏,所以,小島D與小島F相距100海裏.
x09（2）設相遇時補給船航行了x海裏,那麽DE＝x海裏,AB+BE＝2x海裏,EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海裏.
x09在Rt△DEF中,根據勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2,整理,得3x2－1200x+100000＝0.
x09解這個方程,得x1＝200－≈118.4,x2＝200+（不合題意,舍去）.
x09所以,相遇時補給船大約航行了118.4海裏.
x09說明 求解本題時,壹定要認真地分析題意,及時發現題目中的等量關系,並能從圖形中尋找直角三角形,以便正確運用勾股定理布列壹元二次方程.
x09十二、圖表信息
x09例12 如圖6所示,正方形ABCD的邊長為12,劃分成12×12個小正方形格,將邊長為n（n為整數,且2≤n≤11）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式,黑白相間地擺放,第壹張n×n的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的n×n個小正方形格,第二張紙片蓋住第壹張紙片的部分恰好為(n－1)×(n－1)個小正方形.如此擺放下去,直到紙片蓋住正方形ABCD的右下角為止.
x09請妳認真觀察思考後回答下列問題：
x09（1）由於正方形紙片邊長n的取值不同,完成擺放時所使用正方形紙片的張數也不同,請填寫下表：
x09紙片的邊長nx092x093x094x095x096
使用的紙片張數x09x09x09x09x09
x09（2）設正方形ABCD被紙片蓋住的面積（重合部分只計壹次）為S1,未被蓋住的面積為S2.
x09①當n＝2時,求S1∶S2的值；
x09②是否存在使得S1＝S2的n值?若存在,請求出來；若不存在,請說明理由.
x09解（1）依題意可依次填表為：11、10、9、8、7.
x09（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.
x09①當n＝2時,S1＝－22+25×2－12＝34,S2＝12×12－34＝110.
x09所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.
x09②若S1＝S2,則有－n2+25n－12＝×122,即n2－25n+84＝0,
x09解這個方程,得n1＝4,n2＝21（舍去）.
x09所以當n＝4時,S1＝S2.所以這樣的n值是存在的.
x09說明 求解本題時要通過閱讀題設條件及提供的圖表,及時挖掘其中的隱含條件,對於求解第（3）小題,可以先假定問題的存在,進而構造壹元二次方程,看得到的壹元二次方程是否有實數根來加以判斷.
x09十三、探索在在問題
x09例13 將壹條長為20cm的鐵絲剪成兩段,並以每壹段鐵絲的長度為周長做成壹個正方形.
x09（1）要使這兩個正方形的面積之和等於17cm2,那麽這段鐵絲剪成兩段後的長度分別是多少?
x09（2）兩個正方形的面積之和可能等於12cm2嗎? 若能,求出兩段鐵絲的長度；若不能,請說明理由.
x09解（1）設剪成兩段後其中壹段為xcm,則另壹段為（20－x）cm.
x09則根據題意,得+＝17,解得x1＝16,x2＝4,
x09當x＝16時,20－x＝4,當x＝4時,20－x＝16,
x09答 這段鐵絲剪成兩段後的長度分別是4cm和16cm.
x09（2）不能.理由是：不妨設剪成兩段後其中壹段為ycm,則另壹段為（20－y）cm.則由題意得+＝12,整理,得y2－20y+104＝0,移項並配方,得(y－10)2＝－4＜0,所以此方程無解,即不能剪成兩段使得面積和為12cm2.
x09說明 本題的第（2）小問也可以運用求根公式中的b2－4ac來判定.若b2－4ac≥0,方程有兩個實數根,若b2－4ac＜0,方程沒有實數根,本題中的b2－4ac＝－16＜0即無解.
x09十四、平分幾何圖形的周長與面積問題
x09例14 如圖7,在等腰梯形ABCD中,AB＝DC＝5,AD＝4,BC＝10.點E在下底邊BC上,點F在腰AB上.
x09（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長,設BE長為x,試用含x的代數式表示△BEF的面積；
x09（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分?若存在,求出此時BE的長；若不存在,請說明理由；
x09（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分?若存在,求此時BE的長；若不存在,請說明理由.
x09解（1）由已知條件得,梯形周長為12,高4,面積為28.
x09過點F作FG⊥BC於G,過點A作AK⊥BC於K.
x09則可得,FG＝×4,
x09所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x（7≤x≤10）.
x09（2）存在.由（1）得－x2+x＝14,解這個方程,得x1＝7,x2＝5（不合題意,舍去）,
x09所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分,此時BE＝7.
x09（3）不存在.假設存在,顯然有S△BEF∶S多邊形AFECD ＝1∶2,
x09即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.則有－x2+x＝,
x09整理,得3x2－24x+70＝0,此時的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0,
x09所以不存在這樣的實數x.即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分.
x09說明 求解本題時應註意：壹是要能正確確定x的取值範圍；二是在求得x2＝5時,並不屬於7≤x≤10,應及時地舍去；三是處理第（3）個問題時的實質是利用壹元二次方程來探索問題的存在性.
x09十五、利用圖形探索規律
x09例15 在如圖8中,每個正方形有邊長為1 的小正方形組成：
x09（1）觀察圖形,請填寫下列表格：
正方形邊長x091x093x095x097x09…x09n（奇數）
黑色小正方形個數x09x09x09x09x09…x09
正方形邊長x092x094x096x098x09…x09n（偶數）
黑色小正方形個數x09x09x09x09x09…x09
x09（2）在邊長為n（n≥1）的正方形中,設黑色小正方形的個數為P1,白色小正方形的個數為P2,問是否存在偶數n,使P2＝5P1?若存在,請寫出n的值；若不存在,請說明理由.
x09解（1）觀察分析圖案可知正方形的邊長為1、3、5、7、…、n 時,黑色正方形的個數為1、5、9、13、2n－1（奇數）；正方形的邊長為2、4、6、8、…、n 時,黑色正方形的個數為4、8、12、16、2n（偶數）.
x09（2）由（1）可知n為偶數時P1＝2n,所以P2＝n2－2n.根據題意,得n2－2n＝5×2n,即n2－12n＝0,解得n1＝12,n2＝0（不合題意,舍去）.所以存在偶數n＝12,使得P2＝5P1.
x09說明 本題的第（2）小問是屬於存在性問題,求解時,可以先假設結論存在,進而從中找到數量關系,使問題獲解.