先介紹幾個定義：
A、歐拉點：歐拉點就是連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點。
B、歐拉線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位於同壹直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。
C、垂心：三角形三條高的交點；
D、重心：三角形三條中線的交點；
E、外心：三角形三邊垂直平分線的交點，也就是三角形外接圓的圓心；
F、內心：三角形內切圓的圓心，也是三個內角平分線的交點；
九點圓的部分性質：
1、三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑壹半；
2、九點圓的圓心在歐拉線上，且恰為垂心與外心連線的中點；
3、三角形的九點圓與三角形的內切圓,三個旁切圓均相切[可暴力計算證明]?；
4、九點圓是壹個垂心組***有的九點圓,所以九點圓***與四個內切圓,十二個旁切圓相切；
5、外心(M),重心(G),垂心(H),九點圓心(I)四點***線且HG=2MG?MG=2IG?MH=2MI?
6、九點圓其實是某類四面體（對棱互相垂直）的12點***球的壹個特例
7、壹旦三角形的三個頂點在等軸雙曲線（反比例函數）上，那麽它的九點圓將還要過壹個特殊點：等軸雙曲線的中心。（證明如下）
為證明結論7，先證壹個引理：壹條直線交雙曲線於A、B，交兩條漸近線於C、D，那麽AC＝BD。?
設雙曲線方程為x²/a²-y²/b²=1,那麽漸近線方程為x²/a²-y²/b²=0，設直線方程為y=kx+m，由於雙曲線方程與漸近線方程的左邊相同，區別只在右邊的常數，所以可將它們寫成統壹形式：x²/a²-y²/b²=t，當t＝1時得到雙曲線，當t＝0時得到漸近線。?
將直線帶入上述方程消去y並整理得：(b²-k²a²)x²-2kma²x-a²m²-ta²b²=0?
只要k不為雙曲線的漸近線斜率±b/a，那麽方程就有兩個不等的實根x1、x2，由韋達定理：x1+x2＝2kma²/(b²-k²a²),但它與t的取值無關，因此AD的中點與BC的中點重合，所以AC＝BD