什麽是九點圓？九點圓有什麽性質？

三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點（連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點***圓。通常稱這個圓為九點圓（nine-point circle），或歐拉圓、費爾巴哈圓. 九點圓是壹個更壹般的定理：垂心四面體12點***球（各棱的中點，各棱相對於對棱的垂心）的壹個特例。當壹個頂點被壓入所對面的時候，12點的***球就退化為9點***圓。

　九點圓具有許多有趣的性質，例如：　1. 三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；　2. 九點圓的圓心在歐拉線上，且恰為垂心與外心連線的中點；　3. 三角形的九點圓與三角形的內切圓，三個旁切圓均相切（費爾巴哈定理）；　4. 九點圓是壹個垂心組（即壹個三角形三個頂點和它的垂心，***四個點，每個點都是其它三點組成的三角形的垂心，***4個三角形）***有的九點圓，所以九點圓***與四個內切圓、十二個旁切圓相切。　5. 九點圓心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四點***線，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。　九點圓圓心的重心坐標的計算跟垂心、外心壹樣麻煩。　設d1，d2，d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘，並令c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。　那麽重心坐標為：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。