壹、什麽是微積分
微積分學（Calculus，拉丁語意為用來計數的小石頭） 是研究極限、微分學、積分學和無窮級數的壹個數學分支，並成為了現代大學教育的重要組成部分。歷史上，微積分曾經指無窮小的計算。更本質的講，微積分學是壹門研究變化的科學，正如幾何學是研究形狀的科學，代數學是研究代數運算和解方程的科學壹樣。
微積分學在科學、經濟學和工程學領域有廣泛的應用，用來解決那些僅依靠代數學不能有效解決的問題。微積分學在代數學、三角學和解析幾何學的基礎上建立起來，並包括微分學、積分學兩大分支。微分學包括求導數的運算，是壹套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用壹套通用的符號進行演繹。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供壹套通用的方法。微積分學基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統壹成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意壹者為起點來討論微積分學，但是在教學中壹般會先引入微分學。在更深的數學領域中，微積分學通常被稱為分析學，並被定義為研究函數的科學。
二、基本概念
微積分主要有三大類分支：極限、微分學、積分學。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算，牛頓和萊布尼茨發現了這個定理以後才引起了其他學者對於微積分學的狂熱的研究，而這個發現也使得我們在微分和積分之間可以互相轉換。這個基本理論也提供了壹個用代數計算許多積分問題的方法，也就是用不定積分法取代極限運算法。該理論也可以解決壹些微分方程的問題，解決未知數的積分。微分問題在科學領域無處不在。
微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。
微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、復分析、時域微分和微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析。
三、微積分學的歷史
(1) 古代
古代數學的思想更傾向於積分，但是並不嚴格、系統。積分的其中壹個任務，即計算體積和面積，可以從埃及的莫斯克紙莎草手卷中找到（公元前1820年），它的公式也十分簡單，沒有寫明方法，主要成分也殘缺不齊。積分的起源很早，古希臘時期歐多克索斯（公元前408-355年）就用窮盡的方法來求特殊圖形面積的研究。阿基米德（公元前287-212年） 用內接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率的近似值；也用壹連串的三角形來填充拋物線的圖形，以求得其面積。這些都是窮盡法的古典例子。中國的劉徽在公元三世紀左後也應用窮盡法求圓的面積。在公元五世紀左後，祖沖之得出了計算球體積的算法，它也被稱之為卡瓦列裏公式。
(2) 現代
發展現代微積分理論的壹個動力是為了解決“切線問題”，另壹個是“面積問題”。
文藝復興之後，基於實際的需要及理論的探討，積分技巧有了進壹步的發展。譬如為了航海的方便，傑拉杜斯·麥卡托發明了所謂的麥卡托投影法，使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線。在歐洲，基礎性的論證來自博納文圖拉·卡瓦列裏，他認為體積和面積應該用求無窮小橫截面的總量來計算。他的想法類似於阿基米德的《方法論》，但是卡瓦列裏的手稿丟失了，直到20世紀初期再被找到。卡瓦列裏的努力沒有得到認可，因為他的方法的誤差巨大，而且在當時無窮小也不受重視。
17世紀的前半是微積分學的醞釀時期，觀念在摸索中，計算是個別的，應用也是個別的。而後戈特弗裏德·威廉·萊布尼茨和艾薩克·牛頓兩人幾乎同時使微積分觀念成熟，澄清微、積分之間的關系，使計算系統化，並且把微積分大規模使用到幾何與物理研究上。
在他們創立微積分以前，人們把微分和積分視為獨立的學科，之後才確實劃分出“微積分學”這門學科。
在對微積分的正式研究中，皮埃爾·德·費馬聲稱他借用了丟番圖的成就，引入了“足量”概念，等同於誤差的無窮小。可惜他未能體會兩者之間的密切關系。約翰·沃利斯 (數學家)、伊薩克·巴羅和詹姆士·格裏高利完成了組合論證。而牛頓的老師伊薩克·巴羅雖然知道兩者之間有互逆的關系，但他不能體會此種關系的意義，其原因之壹就是求導數還沒有壹套有系統的計算方法。古希臘平面幾何的成功給予西方數學非常深遠的影響：壹般認為唯有幾何的論證方法才是嚴謹、真正的數學，代數不過是輔助的工具而已。直到笛卡兒及費馬倡導以代數的方法研究幾何的問題，這種態度才漸有轉變。可是壹方面幾何思維方式深植人心，而另壹方面代數方法仍然未臻成熟，實數系統遲遲未能建立，所以許多數學家仍然固守幾何陣營而不能發展出有效的計算方法，巴羅便是其中之壹。牛頓雖然放棄了他老師的純幾何觀點而發展出了有效的微分方法，可是他遲遲未敢發表。牛頓利用了微積分的技巧，由萬有引力及運動定律出發說明了他的宇宙體系，解決天體運動，流體旋轉的表面，地球的扁率，擺線上重物的運動等問題。牛頓在解決數學物理問題時，使用了獨特的符號來進行計算，實際上這些就是乘積法則、鏈式法則、高階導數、泰勒級數和解析方程。但因害怕當時人的批評，所以在他1687年的巨著《自然哲學的數學原理》中仍把微積分的痕跡抹去，而以古典的幾何論證方式論述。在其它著作中，牛頓使用了分數和無理數的乘冪，很明顯，牛頓知道泰勒級數的定律。但是他沒有發表這些發現，因為無窮小在當時仍然飽受爭議。
上述思想被戈特弗裏德·威廉·萊布尼茨整合成為真正的無窮小版本的微積分，而牛頓指責前者抄襲。萊布尼茨在今天被認為是獨立發明微積分的另壹人。他的貢獻在於風格嚴密，便於計算二次或更高級別的導數，以微分和積分的形式給出乘積法則和鏈式法則。與牛頓不同，萊布尼茨很註重形式，常常日復壹日地研究妥當的符號。
萊布尼茨和牛頓都被認為是獨立的微積分發明者。牛頓最先將微積分應用到普通物理當中，而萊布尼茨制作了今天絕大多數的符號。牛頓、萊布尼茨都給出了微分、積分的基本方法，二階或更高階導數，數列近似值符號等。在牛頓的時代，微積分基本公式已經被世界知曉。
當牛頓和萊布尼茨第壹次發表各自的成果是，數學界就發明微積分的歸屬和優先權問題爆發壹場曠日持久的大爭論。牛頓最先得出結論，而萊布尼茨最先將其發表。牛頓稱萊布尼茨從他未發表的手稿中抄襲，這個觀點得到了牛頓所在的皇家學會支持。這場大紛爭將使數學家分成兩派：壹派是英國數學家，捍衛牛頓；另壹派是歐洲大陸數學家。結果是對英國數學家不利。日後的小心求證得出牛頓和萊布尼茨兩人獨立得出自己的結論。萊布尼茨從積分推導，牛頓從微分推導。在今天，牛頓和萊布尼茨被譽為發明微積分的兩個獨立作者。“微積分”之名與其使用之運算符號則是萊布尼茨所創，而牛頓將它稱為“流數術”。
微積分實際被許多人不斷地完善，也離不開巴羅、笛卡兒、費馬、惠更斯和沃利斯的貢獻。最早的壹部完整的有關有限和無窮小的分析著作被瑪利亞·阿涅西於1748年總結編訂。牛頓和萊布尼茨雖然把微積分系統化，但是它還是不夠嚴謹。可是當微積分被成功地用來解決許多問題，卻使得十八世紀的數學家偏向其應用，而少致力於其嚴謹。當時，微積分學的發展幸而掌握在幾個非常優越的數學家，如歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、達朗貝爾及伯努利世家等人的手裏。研究的問題由自然現象而來，所以能以自然現象的數據來驗合微積分的許多推論，使微積分學不因基礎不穩而隱含錯誤。在這些眾數學家的手中，微積分學的範圍很快地超過現在大學初階段所授的微積分課程，而邁向更高深的解析學。
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