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解題思路：（1）把函數解析式整理成頂點式形式，然後寫出點C的坐標；（2）①聯立直線與拋物線求出交點A、B的坐標，然後求出AB的長，再根據AB∥OC求出兩平行線間的距離，最後根據三角形的面積公式列式計算即可得解；②根據A、B的坐標求出AM、BM的長，再求出點M的坐標，從而得到⊙M的半徑為2，取MB的中點N，連接QB、QN、QB′，然後利用兩邊對應成比例夾角相等兩三角形相似求出△MNQ和△MQB相似，再根據相似三角形對應邊成比例求出QN=22QB，然後根據三角形任意兩邊之和大於第三邊判斷出Q、N、B′三點***線時QB′+22QB最小，然後噶呢句勾股定理列式計算即可得解．

（1）∵y=x2-2mx+m2+m=（x-m）2+m，

∴頂點坐標為C（m，m）．

（2）①∵y=x+2與拋物線y=x2-2mx+m2+m交於A、B兩點，

∴聯立

y＝x2?2mx+m2+m

y＝x+2，

解得

x1＝m?1

y1＝m+1，

x2＝m+2

y2＝m+4，

∵點A在點B的左側，

∴A（m-1，m+1），B（m+2，m+4），

∴AB=

(m?1?m?2)2+(m+1?m?4)2=3

2，

∵直線OC的解析式為y=x，直線AB的解析式為y=x+2，

∴AB∥OC，兩直線AB、OC之間距離h=2×

2

2=

2，

∴S△APB=[1/2]AB?h=[1/2]×3

2×

2=3；

②∵A（m-1，m+1），B（m+2，m+4），

∴AM=1×

2=

2，BM=2×

2=2

2，

由M點坐標（m，m+2），C點坐標（m，m）可知以MC為半徑的圓的半徑為 （m+2）-m=2

取MB的中點N，連接QB、QN、QB′，

則MN=[1/2]BM=[1/2]×2

2=

2，

∵[MN/QM]=[QM/BM]=

2

2，∠QMN=∠BMQ，

∴△MNQ∽△MQB，

∴[QN/QB]=[MN/QM]=

2

2，

∴QN=

2

2QB，

由三角形三邊關系，當Q、N、B′三點***線時QB′+

2

2QB最小，

∵直線AB的解析式為y=x+2，

∴直線AB與對稱軸夾角為45°，

∵點B、B′關於對稱軸對稱，

∴∠BMB′=90°，

由勾股定理得，QB′+

2

2QB最小值=

B′M2+MN2=

(2

2)2+

22=

10．

故答案為：

10．

,1,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x 2-2mx+m 2+m的頂點為C．

（1）求點C的坐標（用含m的代數式表示）；

（2）直線y=x+2與拋物線交於A、B兩點，點A在拋物線的對稱軸左側．

①若P為直線OC上壹動點，求△APB的面積；

②拋物線的對稱軸與直線AB交於點M，作點B關於直線MC的對稱點B'．以M為圓心，MC為半徑的圓上存在壹點Q，使得 QB′+ 2 2 QB 的值最小，則這個最小值為 10 10 ．