sin54°=sin(90°-36°)=cos36°
其中由三倍角公式和二倍角公式有：
sin54°=-4(sin18°)^3+3sin18°
cos36°=1-2(sin18°)^2
代入sin54°=cos36°移項有方程
4(sin18°)^3-2(sin18°)^2-3sin18°+1=0
分解方程為(sin18°-1)[4(sin18°)^2+2sin18°-1]=0
***有三個解：
sin18°=1
sin18°=(-1+√5)/4
sin18°=(-1-√5)/4
驗算有sin18°=(-1+√5)/4是唯壹解
2.
令z=cos72°+isin72°，則z^5=1.即
(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0
因為z≠1，所以 z^4+z^3+z^2+z+1=0
<==> z^2+z+1+1/z+1/z^2=0
令y=z+1/z,則 y^2+y-1=0.
解得:y=(-1±√5)/2
又y=z+1/z=2cos72°>0
所以 cos72°=(-1+√5)/4
故 sin18°=cos72°=(-1±√5)/4.
驗算有sin18°=(-1+√5)/4是唯壹解
3.
0=ctg90°=ctg(54°+36°)=(ctg54°ctg36°-1)/(ctg54°+ctg36°)
即0=ctg54°ctg36°-1
其中由三倍角公式和二倍角公式有：
ctg54°=[（ctg18°)^3-3ctg18°]/[3(ctg18°)^2-1]
ctg36°=[（ctg18°)^2-1]/2ctg18°
代入0=ctg54°ctg36°-1化簡有
（ctg18°)^2=5±√20
又ctg18°=cos18°/sin18°,
即（ctg18°）^2=[1-(sin18°)^2]/(sin18°)^2=[1/(sin18°)^2]-1=5±√20
化簡有sin18°=[√6±(√20)]/4=(√5±1)/4
其中驗算消去(√5+1)/4項
有sin18°=(√5-1)/4