中位線
1.中位線概念：?
(1)三角形中位線定義：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．?
(2)梯形中位線定義：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．?
註意：?
(1)要把三角形的中位線與三角形的中線區分開．三角形中線是連結壹頂點和它的對邊中點的 線段，而三角形中位線是連結三角形兩邊中點的線段．?
(2)梯形的中位線是連結兩腰中點的線段而不是連結兩底中點的線段．?
(3)兩個中位線定義間的聯系：可以把三角形看成是上底為零時的梯形，這時梯形的中位線就變成三角形的中位線．?
2.中位線定理：?
(1)三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊並且等於它的壹半．?
(2)梯形中位線定理：梯形的中位線平行於兩底，並且等於兩底和的壹半．
中位線是三角形與梯形中的壹條重要線段，由於它的性質與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用．?
例1 如圖2-53所示．△ABC中，AD⊥BC於D，E，F，△ABC的面積．
分析 由條件知，EF，EG分別是三角形ABD和三角形ABC的中位線．利用中位線的性質及條件中所給出的數量關系，不難求出△ABC的高AD及底邊BC的長．
解 由已知，E，F分別是AB，BD的中點，所以，EF是△ABD的壹條中位線，所以
由條件AD+EF=12(厘米)得
EF=4(厘米)，
從而 AD=8(厘米)，
由於E，G分別是AB，AC的中點，所以EG是△ABC的壹條中位線，所以
BC=2EG=2×6=12(厘米)，
顯然，AD是BC上的高，所以
例2 如圖 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交於O，AG⊥BE於G，AH⊥CF於H．
(1)求證：GH‖BC；
(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．
分析 若延長AG，設延長線交BC於M．由角平分線的對稱性可以證明△ABG≌△MBG，從而G是AM的中點；同樣，延長AH交BC於N，H是AN的中點，從而GH就是△AMN的中位線，所以GH‖BC，進而，利用△ABC的三邊長可求出GH的長度．
(1)證 分別延長AG，AH交BC於M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以
△ABG≌△MBG(ASA)．
從而，G是AM的中點．同理可證
△ACH≌△NCH(ASA)，
從而，H是AN的中點．所以GH是△AMN的中位線，從而，HG‖MN，即
HG‖BC．
(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以
AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．
又BC=18厘米，所以
BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，
MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．
從而
MN=18-4-9=5(厘米)，
說明 (1)在本題證明過程中，我們事實上證明了等腰三角形頂角平分線三線合壹(即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質定理的逆定理：“若三角形壹個角的平分線也是該角對邊的垂線，則這條平分線也是對邊的中線，這個三角形是等腰三角形”．
(2)“等腰三角形三線合壹定理”的下述逆命題也是正確的：“若三角形壹個角的平分線也是該角對邊的中線，則這個三角形是等腰三角形，這條平分線垂直於對邊”．同學們不妨自己證明．
(3)從本題的證明過程中，我們得到啟發：若將條件“∠B，∠C的平分線”改為“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分線”(如圖2-55所示)，或改為“∠B，∠C的外角平分線”(如圖2-56所示)，其余條件不變，那麽，結論GH‖BC仍然成立．同學們也不妨試證．
例3 如圖2-57所示．P是矩形ABCD內的壹點，四邊形BCPQ是平行四邊形，A′，B′，C′，D′分別是AP，PB，BQ，QA的中點．求證：A′C′=B′D′．
分析 由於A′，B′，C′，D′分別是四邊形APBQ的四條邊AP，PB，BQ，QA的中點，有經驗的同學知道A′B′C′D′是平行四邊形，A′C′與B′D′則是它的對角線，從而四邊形A′B′C′D′應該是矩形．利用ABCD是矩形的條件，不難證明這壹點．
證 連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，這四條線段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位線．從而
A′B′‖AB，B′C′‖PQ，
C′D′‖AB，D′A′‖PQ，
所以，A′B′C′D′是平行四邊形．由於ABCD是矩形，PCBQ是平行四邊形，所以
AB⊥BC，BC‖PQ．
從而
AB⊥PQ，
所以 A′B′⊥B′C′，
所以四邊形A′B′C′D′是矩形，所以
A′C′=B′D′． ①
說明 在解題過程中，人們的經驗常可起到引發聯想、開拓思路、擴大已知的作用．如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點連線是平行四邊形”這個經驗，對尋求思路起了不小的作用．因此註意歸納總結，積累經驗，對提高分析問題和解決問題的能力是很有益處的．
例4 如圖2-58所示．在四邊形ABCD中，CD＞AB，E，F分別是AC，BD的中點．求證：
分析 在多邊形的不等關系中，容易引發人們聯想三角形中的邊的不形中構造中位線，為此，取AD中點．
證 取AD中點G，連接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位線(已知E是AC的中點)，所以
同理，由F，G分別是BD和AD的中點，從而，FG是△ABD的中位線，所以
在△EFG中，
EF＞EG-FG． ③
由①，②，③
例5 如圖2-59所示．梯形ABCD中，AB‖CD，E為BC的中點，AD=DC+AB．求證：DE⊥AE．
分析 本題等價於證明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．
在E點(即直角三角形的直角頂點)是梯形壹腰中點的啟發下，添梯形的中位線作為輔助線，若能證明，該中位線是直角三角形AED的斜邊(即梯形另壹腰)的壹半，則問題獲解．
證 取梯形另壹腰AD的中點F，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，所以
因為AD=AB+CD，所以
從而
∠1=∠2，∠3=∠4，
所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的內角和等於180°)．從而
∠AED=∠2+∠3=90°，
所以 DE⊥AE．
例6 如圖2-60所示．△ABC外壹條直線l，D，E，F分別是三邊的中點，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l於A1，F1，D1，E1．求證：
AA1+EE1=FF1+DD1．
分析 顯然ADEF是平行四邊形，對角線的交點O平分這兩條對角線，OO1恰是兩個梯形的公***中位線．利用中位線定理可證．
證 連接EF，EA，ED．由中位線定理知，EF‖AD，DE‖AF，所以ADEF是平行四邊形，它的對角線AE，DF互相平分，設它們交於O，作OO1⊥l於O1，則OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公***中位線，所以
即 AA1+EE1=FF1+DD1．
練習十四
1．已知△ABC中，D為AB的中點，E為AC上壹點，AE=2CE，CD，BE交於O點，OE=2厘米．求BO的長．
2．已知△ABC中，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，AH⊥BD於H，AF⊥CE於F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的長．
3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC於D，E，F，G分別是AB，BC，AC的中點．求證：∠BFE=∠EGD．
4．如圖2-61所示．在四邊形ABCD中，AD=BC，E，F分別是CD，AB的中點，延長AD，BC，分別交FE的延長線於H，G．求證：∠AHF=∠BGF．
5．在△ABC中，AH⊥BC於H，D，E，F分別是BC，CA，AB的中點(如圖2-62所示)．求證：∠DEF=∠HFE．
6．如圖2-63所示．D，E分別在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中點分別是M，N，直線MN分別交AB，AC於P，Q．求證：AP=AQ．
7．已知在四邊形ABCD中，AD＞BC，E，F分別是AB，CD