《數學課程標準》指出，數學課程"不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發……數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的生活經驗基礎之上"。①在以"課例為載體"的教師行動教育中，我們通過設計折紙活動讓學生動手實踐，自主探索與合作交流，豐富了學生的學習方式和教師的教學方式，在此過程中，學生找到了學習的樂趣，而教師對數學教與學的方式也有了新的認識。
壹、設計折紙活動的背景。
"三角形的中位線"壹直是各種版本的初中幾何教材中的經典內容，很多公開課都選了這個內容。但在大量的聽課與教學中，我們發現，對三角形中位線性質的證明，是壹個教學難點，只有少數優秀學生能在課上獨立完成，大多數學生在證明中面臨困難。如何有效地解決這個教學難點是我們課例研究的出發點。眾所周知，用"操作"、"觀察"、"猜想"、"分析"的手段去感悟幾何圖形的性質是學習幾何的重要方法。由此，我們想到了從學生已有的生活經驗、數學基礎出發，重新設計"三角形的中位線"的教學過程。讓學生從研究"折紙中的圖形性質"探索出三角形的中位線性質並加以說明。
壹方面，折紙活動本身能喚起學生很多美好的回憶，如折紙飛機、紙帆船、千紙鶴、寶葫蘆等。另壹方面，折紙活動又是壹種有效的操作活動，學生可以通過自己動手操作來感悟圖形的幾何性質，運用圖形運動去發現問題、分析問題。而且折紙活動本身也承載著許多重要的幾
何問題，可以提煉出更壹般的幾何方法，它對於培養學生的學習興趣、好奇心與探索精神，有重要的價值。
二、教學目標。
1.在折紙的情境中，能綜合運用角平分線、線段垂線的性質及與三角形、四邊形相關的壹些性質和判定。
2.建立生活世界中的壹些活動(剪紙與折紙遊戲)與幾何世界的多種聯系，激發學習幾何的興趣。
3.建立幾何與現實生活問題的聯系，培養數學的思考方式(聯想、類比、直覺思維)。
4.經歷數學學習過程：觀察壹探索壹猜想壹驗證，體會科學發現的壹般規律。
三、教學過程。
1.創設情境。
師：同學們，妳們做過折紙遊戲嗎?折紙飛機、紙船、紙葫蘆、紙鶴等都很有趣。我們在日常生活中接觸最多的紙張是長方形的，如把這樣壹張紙折起壹個角，就得到了壹個直角三角形(教師演示)，那麽怎樣用長方形的紙片折出等腰三角形呢?請同學們折壹下。
(學生聯想以往的折紙方式折紙。)
2.提出問題。
(1)導入問題--把壹個直角三角形折成長方形。
師：我們已經知道長方形紙片能折出直角三角形。現在考慮反方向的問題，即直角三角形紙片能否折成長方形?
(學生以小組為單位，進行觀察、嘗試、討論折紙，探索折法，表達自己的發現。)
師：(實物投影)我們展開紙片，畫出折痕，並標上字母(如圖1)。回想折紙過程，妳有什麽發現?(教師提示：註意圖中線段的位置與長度的關系，圖中是否有等腰三角形?哪些三角形全等?)
A
B G C
圖1
生：(教師邊歸納邊板書)① EF=GB=GC= BC/2.EG=AF=FC=AC/2.因此 EF‖BC，EG‖AC。
②折痕將三角形ABC分成四個全等的直角三角形，兩個等腰三角形。
③連接EC，AE=BE=EC=AB/2，∠A+∠B=90°。
師：通過觀察我們這張紙(圖1)，大家知道了E是AB的中點，並且得到三點發現，其中第三點中的兩條性質我們以前證明過，今天我們用折紙的方法又壹次進行了說明。請大家過中點G、F作壹條折痕，思考這條折痕GF與斜邊AB有什麽關系?它能不能成為長方形的壹邊?
(2)壹般問題--把壹個任意三角形折成長方形。
師：現在，我們考慮更壹般的問題，即壹般三角形的紙片能否折成長方形?請同學們折壹折。
(學生嘗試用任意三角形折長方形。教師巡視中指導：同學們可以回想剛才是怎樣折的。活動進行得差不多時，學生在投影儀上演示：用高線轉化成兩個直角三角形的折疊過程。)
師：我們打開紙片展平，畫出所有折痕，並標上字母(如圖2)。從剛才的折紙活動中，妳發現了這個圖形中線段、角和三角形之間存在哪些位置、形狀、數量關系?請各小組的同學討論壹下，發表小組討論結果。
A
B G D H C
圖2
(教師邊歸納邊板書學生討論的結果。)
①關於中點：AE=BE=AB/2，AF=CF=AC/2.BG=DG=BD/2.CH=DH=CD/2;②斜邊上中線：DE=AB/2，DF=AC/2;③關於中位線：EF=BC/2，GE=AD/2。FH=AD/2。
3.提出猜想。
師：妳認為在什麽條件下才能得到壹條線段是另壹條線段的壹半長?
學生發現：①線段的中點;②直角三角形斜邊上的中線;③三角形兩邊的中點連線。
師：我們實際上是找到了△ABC兩條邊上的中點E、F，我們把連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。現在妳們猜測壹下這個中位線與第三邊有什麽樣的關系?
(學生提出猜想：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於它的壹半。)
4.說明結論。
師：剛才大家猜出了三角形中位線的性質，現在妳是否能驗證這個性質並加以說明。
(學生折紙，用折紙比較各條邊長及各個角的大小。)
師：小組內討論壹下，如何驗證?如何說明?(教師巡視中指導：妳的說明要讓別人相信妳是正確的。)哪位同學願意來這裏(講臺)向大家說明!妳們還有什麽疑問提出來。
(學生相互說明與辯論。在實物投影儀上說明①∠A+∠B+∠C=180。;②四邊形EFHG是長方形。)
師：我們壹起發現了三角形中位線的性質：三角形的中位線平行且等於第三邊的壹半，並通過折紙方法進行了驗證與說明，以後我們還要進壹步證明與應用這個性質。
5.交流體驗。
師：這節課妳知道了什麽?學會了什麽?有什麽發現?有什麽體會?還有什麽問題與困惑?
生1：這節課使我知道了折紙中也有數學道理，感覺到生活中處處有數學，今後要多觀察，多思考。
生2：我在用直角三角形折長方形時，與組裏其他同學的折法不壹樣，經比較發現折的長方形沒有其他同學的大。我又折了幾次發現這樣拆(手舉如圖1方式的折紙)……面積是最大的，是三角形面積的壹半。
生3：我覺得用折紙比較線段和角的關系很方便，比如說可以同時折兩個壹樣的圖形比來比去……容易通過做產生出猜想，今後學幾何要多用這種方法。
師：同學們，我們在折紙操作中，通過觀察，發現關系，形成猜想，並證明我們的猜想，得出結論。這是人們發現新知識的重要方法。
6.布置作業。
師：今天課後的作業是用正方形的紙片折疊圖形，按工作單進行操作與探究，從中發現問題。
四、教學活動後教研
從上述過程可以看出，教學活動的過程經歷了創設情境、提出問題、提出猜想、說明結論、交流體驗與布置作業6個環節。在隨後的教研活動中教師們對如下幾個問題進行討論，引發了我們更多的思考。
1.關於活動式教學。
活動教學方式，主要強調學生從已有生活經驗出發、在動手操作的活動過程中學習，進而完成對知識的主動建構。但是數學探究活動的發生又不同於科學探究活動，具體實物材料的擺弄和操作(折紙活動)只是"外在的活動"，而實質性的數學探究往往發生在學生的頭腦裏--教師的任務就是使學生經歷"直觀壹感性認識壹理性思考"的活動過程，同時體驗和感受數學發現過程(從猜想到說明/證明)的欣喜和挑戰。而"折紙中的圖形性質"這壹課例無疑關註了學生對過程性知識的學習並增強了學生對數學學習過程的情感體驗。布魯納也指出："我們教壹門科目，並不是希望學生成為該科目的壹個小型書庫，而是要他們參與獲得知識的過程。學習是壹種過程，而不是結果。"②可見，讓學生在活動中"學會學習"本身比"學會什麽"更重要。
2。關於問題情境的設計。
杜威的"教學五步"③反映了他"做中學"的教育思想，具體地體現為教師在教學中要為學生準備壹個應用經驗的真實情境--與學生現實生活經驗相聯系的情境;與此同時給予壹些暗示，使學生有興趣了解某個問題。本課例中"把三角形折成壹個長方形"是以折紙情境中產生的真實問題作為思維的刺激物，來激發學生邁向幾何性質的學習。教師不是把現成的教材提供給學生，而是要學生參與到活動中去，啟發與引導學生從自己的生活經驗以及折紙活動中"自然"產生出方法(實際上是學生已有生活經驗的有效運用)，來應對折紙情境中所產生的問題、考慮從前沒有認識到的事物，使經驗有真正的增長，形成新性質的經驗。而且在情境的實踐活動中存在著大量的默會知識，所以實施有效的活動式教學的關鍵在於處理好顯性知識與默會知識學習的四種關系--即言傳、內化、外顯、意會的有機整合;。④並在此基礎之上，有效地進行知識的傳承與創新。⑤
3.關於培養學生數學地思維。
數學的特點之壹是高度抽象。如抽象的概念、抽象的關系，但它們都有非常多的現實背景。該課例在教學設計中關註了這個特點，力圖體現數學事實的現實背景，並從中選取與學生生活世界密切相關的情境，使學生思維的抽象過程猶如"自然"發生。這樣，學生感受到了鮮活的數學而不僅僅是它冰冷的美麗。數學的另壹特點是嚴密性，表現為邏輯嚴格與計算精確，這種嚴密過程正體現了人類認識的逐漸深化。在課例中，我們也註意了學生的認知特點，在"直觀幾何"到"證明幾何"的嚴謹化過程之中做壹過渡，進行幾何說明，即要求學生做到"讓別人信服妳是正確的"。以此啟蒙證明與反駁的思維方式。同時，這反映了壹個逐漸追求嚴謹的過
程。在課例設計的問題解決活動中，體現了壹些數學家常用的思想方法：(1)思考問題的逆(反方向)問題，以提出新問題(如從"用常見的長方形紙折出三角形問題"到反過來的"用三角形紙折長方形問題");(2)從壹般問題的特例(直角三角形折為長方形)人手，尋找問題解決的思路;(3)把壹個壹般性問題(壹般三角形折為長方形)轉化為解決過的問題(直角三角形折成長方形)的轉化與化歸思想;(4)歸納與分類的思想(把折紙中發現的諸多關系歸納出來，並進行分類); (5)從變化中尋找不變性的思想(折紙中變化的線段長度與長度的倍半關系)。
4.關於活動課過程的展開。
活動課中學生的數學活動如何展開?這取決於多種因素，主要有教師特點、學生基礎、內容水平、方法運用與情境引入，等等。毫無疑問，學生的主動探索與嘗試是活動課展開的核心，這裏教師如何引導是非常關鍵的。在設計教師的引導活動時，我們經歷了"驗證學過定理(復習)還是發現(數學)問題"，"以知識結構組織方式作為主要路線還是以認知活動序進為主要線索"及"活動中默會層面的知識如何感悟"等問題的困擾，曾幾易教學設計，幾次實踐探索。如，在第壹稿的設計中教師打算"通過折紙活動復習本學期學過的線段垂直平分線、角的平分線、直角三角形斜邊中線等定理及含30。角的直角三角形性質定理，還探究以前沒有學過的三角形中位線定理"。這實際上是通過折紙驗證定理，折紙活動把定理的復習與發現"貫穿"起來，課堂的容量自然就不小了。但在後來學習***同體的研討中，大家認識到通過折紙操作驗證已學過的幾何定理，失去了操作的意義，也會占用較多的課堂時間，教學重點要定位於"學生通過折紙操作來發現新知識，為學生提供更多機會和時間，讓學生提問與質疑、嘗試與探究、討論與交流、歸納與總結。促使學生思維開放，在積極探索中形成創新性的思考與看待問題的方式，並藉此獲得知識"。又如，在第壹次上課之後，執教老師反思道： "以往教學中註重的是幾何論證，講究的是邏輯推理的嚴密性，不太關註知識是如何產生的;而折紙活動是操作幾何，教師和學生都壹時難以適應從折紙的角度去探究、去發現、去驗證。"大家仔細觀察課堂錄像後認為，要創設與學生實際生活經驗密切相關的情節，激活學生原有的經驗，體現循序漸進和學以致用。又如，在後來的壹次平行班上課中，我們發現學生在折紙活動中思維放開了，有了多種嘗試和結果，能夠較好地體現學生的主體性，但是操作與嘗試的方向不夠明確，深度上也有欠缺。仔細觀察課堂錄像使我們認清了教學中的另壹主體⑥--教師的作用，教師如何點撥、引導使學生在多種嘗試和結果中提煉出關鍵問題與有用的知識，不僅是教學設計中要講究的，也是教學實踐中師生智慧的體現，也與"默會"層面的知識"傳遞"有關。
此外，教師在設計活動式教學時體會到，如果設計的探究步伐小就好像是引著學生往"陷阱"裏走;如果探究的步伐大，學生的探究活動會過於受阻甚至不會發生。那麽，如何掌握探究步伐的大小?我們的認識是探索與嘗試的步子壹定要適合學生的實際。要讓學生面對適度的困難，誘發探索與思考的興趣，並從這種克服困難的過程中有壹定的收獲，有壹些成就感。但設
計的問題不宜太難，否則學生會在問題面前過多徘徊，浪費許多寶貴時間。活動開始時，探索與嘗試的步子要小壹些，使得更多的學生有機會投入與參與。隨著學生對環境、情境、問題的熟悉，探索與嘗試的步子可以加大，不斷增加創造性因素。