教學目的
1.使學生掌握余弦定理及其證明方法.
2.使學生初步掌握余弦定理的應用.
教學重點與難點
教學重點是余弦定理及其應用；
教學難點是用解析法證明余弦定理.
教學過程設計
壹、復習
師：直角△ABC中有如下的邊角關系)(設∠C=90°)：
(1)角的關系 A+B+C=180°
A+B=90°
(2)邊的關系 c2=a2+b2.
(3)邊角關系 sinA= =cosB.
cosA==sinB.
tanA= =cotB.
cotA= =tanB.
二、引入
師：在△ABC 中，當∠C=90°時，有c2=a2+b2.若a,b邊的長短不變，變換∠C的大小時，c2與a2+b2有什麽關系呢?請同學們思考.
如圖1，若∠C＜90°時，由於AC與BC的長度不變，所以AB的長度變短，即c2＜a2+b2.
如圖2，若∠C＞90°時，由於AC與BC的長度不變，所以AB的長度變長，即c2＞a2+b2.
經過議論學生已得到當∠C＞90°時,c2≠a2+b2,那麽c2與a2+b2到底相差多少呢?請同學們繼續思考.
如圖3，當∠C為銳角時，作BD⊥AC於D，BD把△ABC分成兩個直角三角形：
在Rt△ABD中，
AB2=AD2+BD2
在Rt△BDC中，
BD=BD·sinC=asinC，
DC=BD·cosC=acosC.
所以，AB2=AD2+BD2化為
c2=(b-acos C)2+(asin C)2,
c2=b2-2abcos C+a2cos2C+a2sin2C
c2=a2+b2-2abcosC.
我們可以看出∠C為銳角時，△ABC的三邊a,b,c具有c2=a2+b2-2abcosC的關系.
從以上分析過程，我們對∠C為銳角c2=a2+b2-2abcosC，還要體會出怎樣把壹個斜三角形轉化成兩個直角三角形的.這種未知向已知的轉化在數學中經常碰到.
下面請同學們自己動手推導結論.
如圖4,當∠C為鈍角時，作BD⊥AC，交AC的延長線於D.
△ACB是兩個直角三角形之差.
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2
在Rt△BCD中,∠BCD=π-C.
BD=BC·sin(π-C),CD=BC·cos(π-C)
所以AB2=AD2+BD2化為
c2=(AC+CD)2+BD2
=〔b+acos(π-C)〕2+〔asin(π-C)〕2
=b2+2abcos(π-C)+a2cos2((π-C)+a2sin2(π-C)
=b2+2abcos(π-C)+a2
因為cos(π-C)=-cosC.所以c2=b2+a2-2abcosC.
這裏∠C為鈍角,cosC為負值,-2abcosC為正值,所以b2+a2-2abcosC＞a2+b2,即a2＞a2+b2.
從以上我們可以看出，無論∠C是銳角還是鈍角，△ABC的三邊都滿足
c2=a2+b2-2abcos C.
這就是余弦定理，我們輪換∠A，∠B，∠C的位置可以得到
a2=b2+c2-2bccos A.
b2=c2+a2-2accos B.
三、證明余弦定理
師：在引入過程中，我們不僅找到了斜三角形的邊角關系，而且還給出了證明，這個證明是依據分類討論的方法，把斜三角形化歸為兩個直角三角形的和差，再利用勾股定理和銳角三角函數證明的.這是證明余弦定理的壹個好方法，但比較麻煩.現在我們已學完了三角函數，無論∠a是銳角、直角或鈍角，我們都有統壹的定義，借用三角函數和兩定點間的距離來證明余弦定理，我們就可避開分類討論.
我們仍就以∠C為主進行證明.
如圖5，我們把頂點C置於原點，CA落在x軸的正半軸上，由於△ABC的AC=b,CB=a,AB=c，則A，B，C點的坐分別為A(b,0),B(acos C,asin C),C(0,0).
請同們分析B點坐標是怎樣得來的.
生：∠ACB=∠C,CB為∠ACB的終邊，B為CB上壹點，設B的坐標為(x,y),則sinC= =,cos C==所以B點坐標x=acosC,y=asinC.
師：回答很準確，A，B兩點間的距離如何求?
生：｜AB｜2=(acosC-b)2+(asinC-0)2
=a2cos2C-2abcosC+b2-a2sin2C
=a2+b2-2abcos C,
即c2=a2+b2-2abcos C.
師：大家請看，我們這裏也導出了余弦定理，這個證明方法是解析法.這種方法以後還要詳細學習.
余弦定理用語言可以這樣敘述，三角形壹邊的平方等於另兩邊的平方和再減去這兩邊與夾角余弦的乘積的2倍，即：
a2=b2+c2-2bccos A.
c2=a2+b2-2abcos C.
b2=a2+c2-2accos B.
若用三邊表示角，余弦定理可以寫為
cos A=
cos B=
cos C=
四、余弦定理的作用
(1)已知三角形的三條邊長，可求出三個內角；
(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊.
例如：已知△ABC的三邊之比為：2：1，求最大的內角.
解 設三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=:2:1.
由三角形中大邊對大角可知：∠A為最大的角.由余弦定理
cos A==-
所以∠A=120°.
再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=π3,求BC之長.
解 由余弦定理可知
BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A
=4+9-2×2×3×=7，
所以BC=7.
以上兩個小例子簡單說明了余弦定理的作用.
五、余弦定理與勾股定理的關系、余弦定理與銳角三角函數的關系
在△ABC中，c2=a2+b2-2abcos C若∠C=90°,則cos C=0,於是
c2=a2+b2-2ab·0=a2+b2
說明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.
另外，cos A=中，當∠C=90°時，c2=a2+b2,則
cos A==這與Rt△ABC中，∠C=90°的銳角三角函數壹致，即直角三角形中的銳角三角函數余弦定理的特例.
六、應用舉例
例1 在△ABC中，求證c=bcos A+acos B.
師：請同學們先做幾分鐘.
生甲：如圖6，作CD⊥AB於D.
在Rt△ACD中，AD=b·cos A;d 在Rt△CBD中,DB=a·cos B.而c=AD+DB，所以
c=bcos A+acos B.
師：這位學生的證法是否完備，請大家討論.
生乙：他的證法有問題，因為作CD⊥AB時垂足D不壹定落在AB上.若落在AB的延長線上時，c
≠AD+DB，而C=AD-DB.
師：學生乙的問題提得好，我們如果把學生乙所說的情況補充上是否就完備了呢?
生丙：還不夠.因為作CD⊥AB時，垂足D還可以落在B處.
師：其實垂足D有五種落法，如落在AB上；AB的延長線上；A點或B點處，我們要分這麽多種情況證明未免有些太麻煩了.
請大家借用余弦定理證明.
生：因為 acos B+bcos A
=a·+b·
=
==c
所以 c=acosB+bcosA.
師：這種證法顯然簡單，它避開了分類討論.妳們知道為什麽這種證法不用分類討論嗎?
生：因為余弦定理本身適用於各種三角形.
例2 三角形ABC中，AB=2,AC=3,BC=4，求△ABC的面積.
師：我們通常要求三角形的面積要用公式
S△=a·ha
或 S△=ab·sin C.
這個題目，我們應該如何下手呢?
生：可以用余弦定理由三邊求出壹個內角的余弦值，再用同角公式導出這個角的正弦後，最後代入三角形面積公式.
解 因為 a=4,b=3,c=2,所以
cosA= =.
由sin2A+cos2A=1,且A為△ABC內角，得sinA=
因此 S△ABC=bc·sin A=×3×2·
例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB邊的中線長.
請同學們先設計解題方案.
生甲：我想在△ABC中，已知三邊的長可求出cos B.在△BCD中，由BC=7,BD=4.5及cosB的值，再用壹次余弦定理便可求出CD.
師：這個方案很好.請同學們很快計算出結果
.
解 設D為AB中點，連CD.
在△ACB中，由AC=8,BC=7,AB=9,得
cos B=
在△BCD中，BC=7,BD=4.5,cosB=,得
CD2=72+(4.5)2-2×7×4.5×=49+-33=.
所以 CD=
生乙：我們在初中碰到中線時，經常延長中線，所以我想延長中線CD到E使DE=CD,想在△BCE中解決.
已知BC=7,BE=AC=8,若再知道cos∠CBE，便可解決，但我不知怎樣求cos∠CBE，便可解決，但我不知怎樣求cos∠CBE.
師：這個問題提得很有價值，請大家壹起幫助學生乙解決這個難點.
生丙：連接AE，由於AD=DB,CD=DE,所以四邊形ACBE為平行四邊形，可得AC‖BE，∠CBE與∠ACB互補.我能利用余弦定理求出cos∠BCA,再利用互補關系解出cos∠CBE.
師：大家看看他講得好不好.請大家用第二套方案解題.
解 延長CD至E，使DE=CD.
因為CD=DE,AD=DB，所以四邊形ACBE是平行四邊形.所以
BE=AC=8,∠ACB+∠CBE=180°
在△ACR中，CB=7,AC=8,AB=9，由余弦定理可得
cos∠ACB=
所以cos∠EBC=-
在△CBE中，
CE2=72+82-2×7×8(-)=49+64+32=145,
所以CE=.因此AB邊上的中線長為
這兩種解法都是兩次用到余弦定理，可見掌握余弦定理是十分必要的.
七、總結
本節課我們研究了三角形的壹種邊角關系，即余弦定理，它的證明我們可以用解析法.它的形式有兩種，壹種是用兩邊及夾角的余弦表示第三邊，另壹種是三邊表示角.
余弦定理適用於各種三角形，當壹個三角形的壹個內角為90°時，余弦定理就自然化為勾股定理或銳角三角函數.
余弦定理的作用如同它的兩種形式，壹是已知兩邊及夾角解決第三邊問題；另壹個是已知三邊解決三內角問題.註意在(0，π)範圍內余弦值和角的壹壹對應性.若cos A＞0，則A為銳角；若cos A=0,則A為直角；若cosA＜0，則A為鈍角.
另外本節課我們所涉及的內容有兩處用到分類討論的思想方法.請大家解決問題時要考慮全面.如果能回避分類討的，應盡可能回避，如用解析法證明余弦定理、用余弦定理證明例1等等.
八、作業
1.已知△ABC中a=3,b=4,c=，求∠C的大小.
2.已知△ABC中a=3,b=4,c=，求∠C的大小.
3.已知△ABC中a=3,b=5,sin C=,求c邊的大小.
4.已知△ABC中a=3,b=,∠B=150°,求c邊的長.
5.已知△ABC中，acos B=bcos A,請判斷三角形的形狀.
1.余弦定理是解三角形的重要依據，要給予足夠重視.本內容安排兩節課適宜.第壹節，余弦定理的引出、證明和簡單應用；第二節復習定理內容，加強定理的應用.
2.當已知兩邊及壹邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應註意解的不唯壹性.