本文討論齊次線性微分方程組
的解的結構. 假設 是區間 上的 階連續矩陣函數. 壹個最基本的結果是：
如果 和 是齊次線性微分方程組（3.9）的兩個解，則
也是（3.9）的解，其中 是任意常數. 並且齊次線性微分方程組（3.9）解的全體 為了壹個 維線性空間.
為了證明這個定理，我們需要引入若幹個向量函數線性無關的概念. 給定定義在區間 上的 個向量函數 ，如果存在 個不全為零的常數 ，使得
則稱 在區間 上 線性相關 ；否則就稱這些向量函數在區間 上.
定理的前壹半根據求導公式容易得到. 我們只需證明（3.9）的解的全體 為壹個 維線性空間.
我們先證明方程組（3.9）在區間 上壹定存在 個線性無關的解 . 在 維向量空間 或 上任意選擇 個線性無關的向量 . 根據定理 3.1 ，對任意的 及區間 上的任意實數 ，方程組（3.9）在 的區間 上存在唯壹滿足初值條件 的解 . 若有常數 ，滿足
則必有
.
由於向量 是線性無關的，因此 必全為零，這表明方程組的（3.9）的解 是線性無關的.
其次我們證明，方程組（3.9）的任壹解 都可表示為上述 個線性無關解的線性組合
其中 為常數. 壹方面，由於向量組 線性無關，他們構成了 維向量空間 或 的壹組基，故存在常數 ，使得
另外由本定理的第壹部分知，
也是方程組（3.9）的滿足處置條件 的解. 因此由解的存在唯壹性定理（即定理3.1）知（3.11）成立.
上面的證明告訴我們，在固定 的情形下， 維向量空間 或 上任意壹個常向量 都唯壹地對應於齊次方程組（3.9）的壹個解 . 映射 事實上給出了由函數組成的空間 與線性空間 或 之間的同構關系.
齊次方程組（3.9）的 個線性無關的解合起來稱為該方程組的壹個 基本解組 . 顯然基本解組不是唯壹的，如果齊次方程組（3.9）有基本解組 ，則 齊次方程組 （3.9）的通解必可表示維（3.11）的形式. 因此，且方程組（3.9）的通解的問題可歸結為求他的 個線性無關的特解的問題.
假設已知
是方程組（3.9）的 個解，我們怎樣判定它們是否線性無關呢？
由方程組（3.9）的 個解 構成的矩陣
稱為方程組（3.9）的壹個 解矩陣 . 其行列式 稱為這個解的 Wronski 行列式 .
由線性代數的知識易知：若定義在區間 上的 個向量函數 線性相關，則在區間 上其 Wronski 行列式 . 下免的定理給出了壹個判定方程組（39）的某個解組是否線性無關的簡潔的方法：
方程組（3.9）的解組 線性無關的充要條件是它們的 Wronski 行列式 在某點 處取值不為零. 並且 滿足 Liouville 公式
其中 是矩陣 的跡，即
根據行列式的定義以級函數和、積的求導公式，容易證明
由於 是方程組（3.9）的解，故
同理可得（3.14）右端的第 個行列式的值等於 ，其中 . 從而，
這是關於 的壹階線性方程，其解為
因此 Liouville 公式成立. 按照這個公式，我們容易知道 恒為 0（無零點）當且僅當 在某點 等於 0（不等於 0 ）. 定理證畢.
定理 3.3 的第壹部分還可以利用解的唯壹性（定理 3.1 ）來給出證明.
由定理 3.3，只需在區間 上的任壹點 處計算出給定解組的 Wronski 行列式 ，就可根據 是否為零來判斷其是否線性無關.
值得註意的是，上述函數矩陣的行列式或恒為零或恒不為零的結果只適用於由齊次線性微分方程給出的解矩陣. 壹般的函數矩陣沒有這樣的性質，更不能用它來判斷向量函數組是否線性無關. 例如，下列兩個向量函數：
的 Wronski 行列式恒等於零，但它們卻是線性無關的.
當解組 是壹個基本解組時，我們稱解矩陣
為方程組（3.9）的壹個 基(本)解矩陣 . 特別地，如果在某點 處 （即單位矩陣），則稱 為 標準解矩陣 .
根據前面的定理，設 為方程組（3.9）的壹個基解矩陣，則方程組（3.9）的任壹解 都可以表示為
其中 是某常量. 反之，對於任意常向量 ，向量函數 都是方程組（3.9）的解. 如果考慮初值函數 的解為
其中 是壹個標準解矩陣.