1.平行四邊形ABCD的壹條對角線固定在A(3，-1)，C(2，-3)兩點，點D在直線3x-y+1=0上移動，則點B的軌跡方程為( )
A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0
C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0
答案：A 解題思路：設AC的中點為O，即.設B(x，y)關於點O的對稱點為(x0，y0)，即D(x0，y0)，則由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.
2.由直線y=x+1上的壹點向圓(x-3)2+y2=1引切線，則切線長的最小值為( )
A.1 B.2
C. -2D.3
答案：C 解題思路：當該點是過圓心向直線引的垂線的交點時，切線長最小.因圓心(3,0)到直線的距離為d==2，所以切線長的最小值是l==.
3.直線y=x+b與曲線x=有且只有壹個交點，則b的取值範圍是( )
A.{b||b|=}
B.{b|-1
C.{b|-1≤b<1}
D.非以上答案
答案：
B 解題思路：在同壹坐標系中，畫出y=x+b與曲線x=(就是x2+y2=1，x≥0)的圖象，如圖所示，相切時b=-，其他位置符合條件時需-1
4.若圓C：x2+y2+2x-4y+3=0關於直線2ax+by+6=0對稱，則由點(a，b)向圓所作的切線長的最小值是( )
A.2 B.3
C.4 D.6
答案：C 解題思路：圓的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=2，所以圓心為(-1,2)，半徑為.因為圓關於直線2ax+by+6=0對稱，所以圓心在直線2ax+by+6=0上，所以-2a+2b+6=0，即b=a-3，點(a，b)到圓心的距離為
d==
==.
所以當a=2時，d有最小值=3，此時切線長最小，為==4，故選C.
5.已知動點P到兩定點A，B的距離和為8，且|AB|=4，線段AB的中點為O，過點O的所有直線與點P的軌跡相交而形成的線段中，長度為整數的有( )
A.5條 B.6條
C.7條 D.8條
答案：D 命題立意：本題考查橢圓的定義與性質，難度中等.
解題思路：依題意，動點P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長是8，短軸長是2=4的橢圓.註意到經過該橢圓的中心O的最短弦長等於4，最長弦長是8，因此過點O的所有直線與點P的軌跡相交而形成的線段中，長度可以為整數4,5,6,7,8，其中長度為4,8的各壹條，長度為5,6,7的各有兩條，因此滿足題意的弦***有8條，故選D.
6.設m，nR，若直線(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切，則m+n的取值範圍是( )
A.[1-，1+]
B.(-∞，1-][1+，+∞)
C.[2-2，2+2]
D.(-∞，2-2][2+2，+∞)
答案：D 解題思路： 直線與圓相切，
=1，
|m+n|=，
即mn=m+n+1，
設m+n=t，則mn≤2=，
t+1≤， t2-4t-4≥0，
解得：t≤2-2或t≥2+2.
7.在平面直角坐標系xOy中，設A，B，C是圓x2+y2=1上相異三點，若存在正實數λ，μ，使得=λ+μ，則λ2+(μ-3)2的取值範圍是( )
A.[0，+∞) B.(2，+∞)
C.(2,8) D.(8，+∞)
答案：B 解題思路：依題意B，O，C三點不可能在同壹直線上， ·=|cos BOC=cos BOC∈(-1,1)，又由=λ+μ，得λ=-μ，於是λ2=1+μ2-2μ·，記f(μ)=λ2+(μ-3)2.則f(μ)=1+μ2-2μ·+(μ-3)2=2μ2-6μ-2μ·+10，可知f(μ)>2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)<2μ2-4μ+10=2(μ-1)2+8無值，故λ2+(μ-3)2的取值範圍為(2，+∞).
8.已知圓C：x2+y2=1，點P(x0，y0)在直線x-y-2=0上，O為坐標原點，若圓C上存在壹點Q，使得OPQ=30°，則x0的取值範圍是( )
A.[-1,1] B.[0,1]
C.[-2,2] D.[0,2]
答案：D 解析：由題知，在OPQ中，=，即=， |OP|≤2，又P(x0，x0-2)，則x+(x0-2)2≤4，解得x0[0,2]，故選D.
9.過點P(1,1)的直線，將圓形區域{(x，y)|x2+y2≤4}分成兩部分，使得這兩部分的面積之差，則該直線的方程為( )
A.x+y-2=0 B.y-1=0
C.x-y=0 D.x+3y-4=0
答案：A 命題立意：本題考查直線、線性規劃與圓的綜合運用及數形結合思想，難度中等.
解題思路：要使直線將圓形區域分成兩部分的面積之差，必須使過點P的圓的弦長達到最小，所以需該直線與直線OP垂直.又已知點P(1,1)，則kOP=1，故所求直線的斜率為-1.又所求直線過點P(1,1)，故由點斜式得，所求直線的方程為y-1=-(x-1)，即x+y-2=0.
10.直線y=kx+3與圓(x-2)2+(y-3)2=4相交於M，N兩點，若|MN|≥2，則k的取值範圍是( )
A. B.
C.[-， ] D.
答案：B 命題立意：本題考查直線與圓的位置關系，難度中等.
解題思路：在由弦心距d、半徑r和半弦長|MN|構成的直角三角形中，由勾股定理，得|MN|=≥，得4-d2≥3，解得d2≤1，又d==，解得k2≤，所以-≤k≤.
二、填空題
11.已知直線l：y=-(x-1)與圓O：x2+y2=1在第壹象限內交於點M，且l與y軸交於點A，則MOA的面積等於________.
答案： 命題立意：本題考查直線與圓的位置關系的應用，難度較小.
解題思路：聯立直線與圓的方程可得xM=，故SMOA=×|OA|×xM=××=.
12.在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a2+b2=c2，則直線ax-by+c=0被圓x2+y2=9所截得的弦長為________.
答案：2 命題立意：本題考查直線與圓位置關系的應用，求解弦長壹般采用幾何法求解，難度較小.
解題思路：圓心到直線的距離d===，故直線被圓截得的弦長為2=2=2.
13.已知A(-2,0)，B(1,0)兩點，動點P不在x軸上，且滿足APO=BPO，其中O為原點，則點P的軌跡方程是________.
答案：(x-2)2+y2=4(y≠0) 命題立意：本題考查角平分線的性質及直接法求軌跡方程，難度中等.
解題思路：因為A(-2,0)，B(1,0)兩點，動點P不在x軸上，且滿足APO=BPO，故點P在角APB的角平分線上，則利用PAPB=AOOB=21，設點P(x，y)，則利用關系式可知=2化簡可得(x-2)2+y2=4(y≠0).
14.若直線m被兩平行線l1：x-y+1=0與l2：x-y+3=0所截得的線段的長為2，則m的傾斜角可以是
15° 30° 45° 60° 75°
其中正確答案的序號是________.(寫出所有正確答案的序號)
答案： 解題思路：設直線m與l1，l2分別交於A，B兩點，
過A作ACl2於C，則|AC|==.
又|AB|=2，ABC=30°.
又直線l1的傾斜角為45°，
直線m的傾斜角為45°+30°=75°或45°-30°=15°.
B組
壹、選擇題
1.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線y=2x-4與C交於A，B兩點，則cos AFB=( )
A. B.
C.- D.-
答案：D 解題思路：聯立消去y得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4.
不妨設點A在x軸下方，所以A(1，-2)，B(4,4).
因為F(1,0)，所以=(0，-2)，=(3,4).
因此cos AFB=
==-.故選D.
2.已知拋物線x2=4y上有壹條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為( )
A. B.
C.1 D.2
答案：D 解題思路：由題意知，拋物線的準線l為y=-1，過A作AA1l於A1，過B作BB1l於B1，設弦AB的中點為M，過M作MM1l於M1，則|MM1|=，|AB|≤|AF|+|BF|(F為拋物線的焦點)，即|AF|+|BF|≥6，即|AA1|+|BB1|≥6，即2|MM1|≥6， |MM1|≥3，即M到x軸的距離d≥2，故選D.
3.設雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，A是雙曲線漸近線上的壹點，AF2F1F2，原點O到直線AF1的距離為|OF1|，則漸近線的斜率為( )
A.或- B.或-
C.1或-1 D.或-
答案：D 命題立意：本題考查了雙曲線的幾何性質的探究，體現了解析幾何的數學思想方法的巧妙應用，難度中等.
解題思路：如圖如示，不妨設點A是第壹象限內雙曲線漸近線y=x上的壹點，由AF2F1F2，可得點A的坐標為，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，則tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得該雙曲線漸近線的斜率為或-，故應選D.
4.設F1，F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，與直線y=b相切的F2交橢圓於點E，E恰好是直線EF1與F2的切點，則橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
答案：C 解題思路：由題意可得，EF1F2為直角三角形，且F1EF2=90°，
|F1F2|=2c，|EF2|=b，
由橢圓的定義知|EF1|=2a-b，
又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，
即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，
所以e2===，故e=，故選C.
5.等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2=16x的準線交於A，B兩點，|AB|=4，則C的實軸長為( )
A. B.2 C.4 D.8
答案：C 解題思路：由題意得，設等軸雙曲線的方程為-=1，又拋物線y2=16x的準線方程為x=-4，代入雙曲線的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以雙曲線的實軸長為2a=4，故選C.
6.拋物線y2=-12x的準線與雙曲線-=1的兩條漸近線圍成的三角形的面積等於( )
A. B.3 C. D.3
答案：B 命題立意：本題主要考查拋物線與雙曲線的性質等基礎知識，意在考查考生的運算能力.
解題思路：依題意得，拋物線y2=-12x的準線方程是x=3，雙曲線-=1的漸近線方程是y=±x，直線x=3與直線y=±x的交點坐標是(3，±)，因此所求的三角形的面積等於×2×3=3，故選B.
7.若雙曲線-=1與橢圓+=1(m>b>0)的離心率之積大於1，則以a，b，m為邊長的三角形壹定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.鈍角三角形
答案：D 解題思路：雙曲線的離心率為e1=，橢圓的離心率e2=，由題意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形為鈍角三角形，故選D.
8. F1，F2分別是雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交於A，B兩點.若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為( )
A.2 B. C. D.
答案：B 命題立意：本題主要考查了雙曲線的定義、標準方程、幾何性質以及基本量的計算等基礎知識，考查了考生的推理論證能力以及運算求解能力.
解題思路：如圖，由雙曲線定義得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因為ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故選B.
9.已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上壹動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是( )
A.2 B.3
C. D.
答案：A 解題思路：設拋物線y2=4x上壹動點P到直線l1和直線l2的距離分別為d1，d2，根據拋物線的定義可知直線l2：x=-1恰為拋物線的準線，拋物線的焦點為F(1,0)，則d2=|PF|，由數形結合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值時，即為點F到l1的距離，利用點到直線的距離公式得最小值為=2，故選A.
10.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)，A，B是雙曲線的兩個頂點，P是雙曲線上的壹點，且與點B在雙曲線的同壹支上，P關於y軸的對稱點是Q.若直線AP，BQ的斜率分別是k1，k2，且k1·k2=-，則雙曲線的離心率是( )
A. B. C. D.
答案：C 命題立意：本題考查雙曲線方程及其離心率的求解，考查化簡及變形能力，難度中等.
解題思路：設A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由於點P在雙曲線上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故選C.
二、填空題
11.已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點P(2,0)的直線交拋物線於A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點，則(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面積的最小值是________.
答案：(1)-8 (2)2 命題立意：本題主要考查直線與拋物線的位置關系，難度中等.
解題思路：設直線AB的方程為x-2=m(y-0)，即x=my+2，聯立得y2-4my-8=0.(1)由根與系數的關系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面積為S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.
知識拓展：將ABF分割後進行求解，能有效減少計算量.
12. B1，B2是橢圓短軸的兩端點，O為橢圓中心，過左焦點F1作長軸的垂線交橢圓於P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項，則的值是________.
答案： 命題立意：本題考查橢圓的基本性質及等比中項的性質，難度中等.
解題思路：設橢圓方程為+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.
13.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交於點A，與C的壹個交點為B.若=，則p=________.
答案：2 解題思路：過B作BE垂直於準線l於E，
=， M為AB的中點，
|BM|=|AB|，又斜率為，
BAE=30°， |BE|=|AB|，
|BM|=|BE|， M為拋物線的焦點，
p=2.
14.
如圖，橢圓的中心在坐標原點O，頂點分別是A1，A2，B1，B2，焦點分別為F1，F2，延長B1F2與A2B2交於P點，若B1PA2為鈍角，則此橢圓的離心率的取值範圍為________.
答案： 解題思路：設橢圓的方程為+=1(a>b>0)，B1PA2為鈍角可轉化為，所夾的角為鈍角，則(a，-b)·(-c，-b)0， e>或e<，又0
15.在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：-=1.設過點M(0,1)的直線l與雙曲線C交於A，B兩點，若=2，則直線l的斜率為________.
答案：± 命題立意：本題考查直線與雙曲線的位置關系，難度中等.
解題思路：聯立直線與雙曲線，結合根與系數的關系及向量的坐標運算求解.由題意可知，直線l與雙曲線的兩支相交，故設直線l：y=kx+1，k，代入雙曲線方程整理得(3-4k2)x2-8kx-16=0(*).設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由=2得x1=-2x2，在(*)中，利用根與系數的關系得x1+x2=，解得x2=-，y2=，代入雙曲線方程整理得16k4-16k2+3=0，解得k2=，故直線l的斜率是±.